Résumé : En 1878, Felix Klein découvre une surface remarquable. Il en donne tout de suite plusieurs descriptions: algébrique (courbe algébrique), arithmétique (courbe modulaire), géométrique (surface hyperbolique) et combinatoire (polyèdre régulier). Les aspects algébrique et arithmétique sont liés à la théorie des équations algébriques: l'une des principales motivations de Klein est de prolonger ses travaux sur l'icosaèdre. Concernant l'aspect géométrique, Klein établit que sa surface est un quotient du demi-plan supérieur, et obtient ainsi le premier exemple d'uniformisation (paramétrage global par un seul paramètre complexe) d'une courbe algébrique de genre supérieur à 1. Auparavant, seule l'uniformisation des courbes de degré inférieur à 3 était connue. La surface de Klein marque donc une étape importante dans la théorie de l'uniformisation, qui sera achevée bien plus tard (en 1907) par Koebe et Poincaré.
Dans cet article, nous décrivons la surface de Klein et les relations entre ses diverses formes: plus qu'un exemple, ce sera un prétexte pour illustrer quelques résultats de base sur les surfaces de Riemann.
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© patrick
iglesias
1998
