Résumé: Henri Poincaré est le fondateur de la théorie des systèmes dynamiques. Confronté à l'impossibilité de résoudre explicitement les équations différentielles gouvernant les trajectoires des planètes (dès qu'elles sont en nombre supérieur à trois), il développe un ambitieux programme qui cherche à décrire qualitativement le mouvement des corps célestes. Dans son fameux mémoire de 1890Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique , il démontre un théorème extrêmement surprenant. Nous en donnerons un énoncé précis plus loin mais il est préférable de citer directement l'analyse que H. Poincaré a faite de ses propres travaux:
Je n'ai pu résoudre rigoureusement et complètement le problème de la stabilité du système solaire, en entendant ce mot dans un sens strictement mathématique. L'emploi des invariants intégraux m'a cependant permis d'atteindre certains résultats partiels, s'appliquant surtout au problème dit restreint où les deux corps principaux circulent dans des orbites sans excentricité, pendant que le corps troublé a une masse négligeable. Dans ce cas, si on laisse de côté certaines trajectoires exceptionnelles, dont la réalisation est infiniment peu probable, on peut démontrer que le système repassera une infinité de fois aussi près que l'on voudra de sa position initiale. C'est ce que j'ai appelé la stabilité à la Poisson
Deux articles de vulgarisation publiés dans Pour la
Science et Science et Vie décrivent ce
théorème par un exemple où l'on voit une
récurrence assez stupéfiante (Crutchfield,
Berger). Partant d'une reproduction d'une
photographie de H. Poincaré, on lui applique une certaine
transformation et on itère le procédé.
Dès la troisième itération, il ne reste plus
grand chose du visage du grand homme mais, de manière
miraculeuse, après 241 itérations, Henri
Poincaré est de retour sans qu'il ne lui manque un seul poil
de barbe! Nous avons reproduit le résultat à la fin de
cet article. Nous allons essayer d'expliquer ici pourquoi cet
exemple, même s'il est frappant, n'illustre en aucun
cas le théorème de Poincaré! Ce
phénomène est en fait le résultat d'une
série de petits "miracles" de nature arithmétique que
nous analyserons. Nous espérons qu'au passage ceci permettra
une meilleure compréhension du vrai
théorème de Poincaré et de ses limitations. En
passant, nous rencontrerons quelques questions ouvertes auxquelles
certains lecteurs auront peut-être le plaisir de
s'attaquer.
|
|
|
Vous pouvez afficher la figure représentant différentes itération du portrait de Poincaré en cliquant sur son portrait. |
(1) Poincaré H. Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Acta Math. 13 (1890), 1-270. [Couronné par le prix de S.M. le roi Oscar II de Suède.]
(2) Crutchfield J. Farmer D. Packard N. Shaw R. Le chaos. Pour la Science, février 1987, 26-50.
(3) Berger M. Maths 89 : l'école française 3ème du monde. Science et Vie, mars 1989, 274-283.
© patrick
iglesias
1998
