La courbure de Gauss

par Sylvain Barré

Résumé: Il est souvent question de courbure en géométrie riemannienne. On se propose dans cet article de comprendre de quoi il s'agit dans le cas de la dimension 2. On définit donc la courbure des surfaces appelée courbure de Gauss et on donne tout de suite un moyen pratique général pour la calculer. Ensuite, pour savoir ce que représente géométriquement cette notion, on donne trois moyens très visuels pour la comprendre. Pour le premier, on regarde la courbure des courbes tracées sur la surface, pour le second, l'aire des petits disques métriques, et enfin pour le troisième, la position de la surface par rapport à ses plans tangents. Comme il est toujours bon d'avoir quelques exemples en tête, dans la dernière partie, on étudie plus précisément trois catégories d'exemples : les surfaces de révolution, les voisinages tubulaires et les surfaces réglées.