Le plan hyperbolique

par Stéphane Grognet et Marc Olive

Résumé : L'idée du plan hyperbolique a été développée d'abord par des mathématiciens qui cherchaient une géométrie qui puisse omettre le cinquième postulat d'Euclide. Considérer les droites euclidiennes comme géodésiques du plan muni de la métrique euclidienne est une idée relativement moderne. On sait que le produit scalaire euclidien et les droites sont invariants par le groupe des déplacements. Dans cet article, nous allons construire le plan hyperbolique en cherchant une métrique invariante par des groupes d'automorphismes conformes, ce qui nous donnera les modèles du demi--plan et du disque de Poincaré; ensuite nous présenterons l'hyperboloïde à une nappe et le modèle projectif de Klein. Enfin, nous démontrerons que l'ensemble des géodésiques orientées du plan hyperbolique possède une structure de surface (c'est un cylindre).