Méthodes directes en calcul des variations, quasiconvexité

par Sylvie Benzoni

Résumé : De façon générale le calcul des variations vise à minimiser des fonctionnelles de type intégrale dépendant d'une certaine fonction que l'on cherche à caractériser. Ce type de problème remonte à Bernoulli, Jacques 1er (1654-1705) qui résolut en 1696 le problème de la courbe brachystochrone. En 1744, Euler (1707-1783) donna une première condition nécessaire générale dans le cas unidimensionnel, à savoir l'équation qui porte aujourd'hui son nom. Il est ainsi à la base de la méthode classique, à laquelle contribuèrent ensuite Lagrange (1736-1813), Legendre (1752-1833), Jacobi (1804-1851), Hamilton (1805-1865), Weierstrass (1815-1897) et Riemann (1826-1866). Ce dernier énonça notamment un principe concernant l'intégrale de Dirichlet (1805-1859) : elle atteindrait son minimum en une unique fonction harmonique. En fait il fallut attendre l'introduction des méthodes directes par Hilbert (1862-1943) et Lebesgue (1875-1941) pour établir rigoureusement ce principe. Ces méthodes furent ensuite appliquées intensivement par Tonelli. Elles suscitent encore aujourd'hui beaucoup d'intérêt, notamment pour étudier des problèmes d'élasticité non-linéaire.

Toute solution régulière du problème de minimisation doit satisfaire un système d'Equations aux Dérivées Partielles. Indépendamment de la question de l'existence de solutions à un tel système d'E.D.P, une telle méthode n'est pas très sûre: d'une part elle suppose a priori une propriété de régularité de la solution et, surtout, elle ne permet pas de décider si le point critique ainsi trouvé est effectivement un minimum. Ceci tend à montrer l'intérêt des méthodes directes que décrivons dans cet article.