Le théorème de Sharkovskii

par Jean-Yves Briend

Résumé : Au pays des publications mathématiques, il est rare de commencer un article par une section bricolage. C'est pourtant ce que nous allons faire en vous proposant de réaliser vous-mêmes un montage facile et peu onéreux. Tout d'abord, il vous faut vous procurer deux récipients cylindriques, de même hauteur mais l'un de volume huit fois plus grand que l'autre. Placez alors le plus petit au centre du plus grand de manière à confondre leurs axes. On a ainsi réalisé un récipient annulaire. Une fois ce contenant réalisé, on peut le remplir d'eau et faire tourner le tout suivant son axe, mis vertical, sur un tourne-disque en position 78 tours par minutes. Il ne vous reste plus qu'à imposer entre le centre et la périphérie une forte différence de température, le tout continuant de tourner. Vous obtenez ainsi l'expérience réalisée par Lorentz dans les années 60 dans son étude des phénomènes météorologiques. Si vous avez beaucoup de chance, vous observerez comme lui que des vagues d'aspect évoluant sans loi apparente se forment à un bord du récipient pour aller mourir sur l'autre. Lorentz ne se laissa pas impressionner par cet état de fait semble-t-il imperméable à toute mise en loi et effectua des manipulations numériques sur les équations du système. Il trouva alors pour l'évolution des vagues le modèle suivant : l'énergie cinétique maximale K(n+1) de la (n+1)-ième vague est fonction de celle de la précédente sous la forme K(n+1)=f(K(n)), où f est une application continue donnée de l'intervalle [0,450] dans lui-même. Ainsi Lorentz fut amené à étudier l'itération de la fonction f, c'est-à-dire à comprendre le comportement des orbites des points x de l'intervalle, définies par O(x)={fⁿ(x), n>=0}, où f⁰=id et fⁿ=fof^n-1, où fⁿest la n-ième itérée de f. On se retrouve donc en partant de deux boîtes de choucroute à commencer l'étude des systèmes dynamiques en dimension 1, théorie qui connait depuis deux décennies des développements considérables. Dans cet article, nous allons donner la démonstration d'un théorème dû à Sharkovskii en 1964 qui a le mérite d'être tout à la fois simple à énoncer, d'avoir une démonstration s'appuyant sur des outils élémentaires, et cependant d'être un résultat profond et très plaisant.