Résumé : Le problème qui va nous occuper ici remonte à l'Antiquité, puisque ce sont les Grecs qui ont découvert la première inégalité isopérimétrique, en résolvant le problème suivant :
Question : Y a-t-il un lien entre l'aire d'un terrain et son périmètre ?
Réponse : le carré du périmètre est supérieure à 4 pi fois son aire, avec égalité pour le disque seulement.
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Ainsi, on appelle inégalité isopérimétrique toute inégalité permettant de comparer des grandeurs géométriques du type aire ou périmètre, ce qui joue un grand rôle dans l'évaluation de capacités ou de moments d'inertie et de torsion de solides, ainsi que pour l'étude de la vibration d'une membrane de forme donnée. Dans cet article, nous allons plus précisément nous pencher sur le cas des rayons conformes d'un ouvert : l'ouvert du plan (pour le rayon interne), qui joue le role du terrain (son complémentaire sur la sphère de Riemann pour le rayon externe) est ramené, via une application conforme (i.e. biholomorphe) particulière, à un disque dont le rayon est caractérisé par cet ouvert. De telles grandeurs sont utiles, car liées aux valeurs propres du laplacien , et ne sont pas du tout évidentes à calculer dès que l'ouvert se complique un peu. Pourtant, nous allons être en mesure de donner toutes les inégalités reliant aire, périmètre, rayon interne et rayon externe pour un ouvert simplement connexe et convexe, en donnant au passage la forme explicite de l'application conforme échangeant le disque unité et un polygone quelconque (formules de Schwarz-Christoffel). Ces problèmes ont été remis au goût du jour et résolus en particulier grâce à Polya et Szëgo dans la première moitié du vingtième siècle.
© patrick
iglesias
1998
