Introduction à la géométrie symplectique

par Laurent Laeng

Résumé : L'idée d'étudier des opérations de groupes de Lie sur des variétés symplectiques provient de la physique, et notamment de la mécanique du solide : l'espace des phases est naturellement une variété symplectique, sur laquelle agit un groupe de symétries du solide.

Transposée aux mathématiques, cette méthode a permis la formulation de nombreux théorémes, dont des théorèmes de convexité. Les théorémes d'Atiyah, Guillemin et Sternberg et de Schur et Horn, dont je parlerai dans cet article, sont des exemples de théorémes de convexité.

Pourquoi tous ces miracles, me demanderez-vous ? Tout simplement car la géométrie symplectique est le cadre naturel d'un certain type de problèmes, c'est-à-dire que c'est dans ce cadre-là que tout se formule le mieux...