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HDR François Brunault
Résumé en français :
Les travaux présentés dans ce mémoire concernent principalement la théorie des formes modulaires. Nous étudions en particulier leurs fonctions L et les liens avec la théorie des régulateurs, d'un point de vue à la fois théorique et effectif.
Nous commençons par démontrer des versions explicites de la conjecture de Beilinson pour les formes modulaires dans le cas de la première valeur non critique, en utilisant la méthode récente de Rogers et Zudilin. Nous donnons aussi un analogue pour la fonction L p-adique associée à une courbe elliptique. Par ailleurs, en collaboration avec Chida, nous traitons le cas du produit de Rankin de deux formes modulaires.
Nous appliquons ces formules pour montrer des cas particuliers des conjectures de Boyd sur les mesures de Mahler des polynômes en deux variables, et en collaboration avec Neururer, nous généralisons la méthode à certains polynômes en trois variables.
Nous étudions ensuite la conjecture de Beilinson pour les variétés abéliennes quotients de la jacobienne d'une courbe modulaire. Grâce au langage adélique, nous montrons que l'algèbre de leurs endomorphismes est engendrée par les correspondances de Hecke, ce qui permet d'établir une version équivariante de la conjecture.
Pour terminer, nous présentons deux résultats concernant le développement de Fourier des formes modulaires. Nous donnons une condition suffisante pour que la paramétrisation modulaire d'une courbe elliptique soit non ramifiée aux pointes de la courbe modulaire. Enfin, en collaboration avec Neururer, nous bornons le corps engendré par les coefficients de Fourier d'une forme modulaire en une pointe arbitraire.