Séminaire d'arithmétique à Lyon
Les jeudis de 14 heures à 15 heures, soit à l'UMPA (en salle 435), soit à Lyon 1.
Organisateurs : Amaury Thuillier (Lyon 1) et Vincent Pilloni (UMPA).
Séances à venir
Jeudi 9 février 2012 : Gaëtan Chenevier
Voisins de Kneser et representations galoisiennes orthogonales en dimension 16 et 24
14h00, Salle 435
(travail en commun avec Jean Lannes) Si n est multiple de 8, l'espace euclidien R^n possede des reseaux unimodulaires "pairs". Ils sont en nombre fini a isometrie pres et ont ete classifies pour n=8 (reseau E_8), n=16 (E_16 et E_8+E_8), et n=24 (les 24 reseaux de Niemeier, dont le reseau de Leech). Deux reseaux unimodulaires pairs sont dits p-voisins, p etant un nombre premier, si leur intersection est d'indice p dans chacun d'eux. Pour n=16 et n=24, et pour L et M deux reseaux unimodulaires pairs quelconques de R^n, nous donnerons dans cet expose une formule explicite pour le nombre des p-voisins de L isometriques a M, et ce pour tout premier p. Le cas p=2 remonte a Borcherds et Nebe-Venkov. Un ingredient essentiel en general est la determination d'une collection de representations automorphes (ou galoisiennes!) de conducteur 1 pour certains petits groupes classiques. Si le temps le permet nous discuterons d'une generalisation au cas des 121 reseaux pairs de determinant 2 et de dimension 25.
Jeudi 1er mars 2012 : David Hebert (Paris 13)
Structure de Poids
14h00, salle 435
Dans cet exposé on introduit le langage des structures de poids à la Bondarko du point de vue de la théorie des catégories dans un premiers temps en donnant, entre autre, divers théorèmes de construction puis du point de vue de la géométrie algébrique en appliquant cet outil dans la catégorie des motifs de Beilinson sur laquelle on reviendra. On précisera la fonctorialité de cette structure ainsi que divers résultats satellitaires.
Jeudi 8 mars 2012 : Ramla Abdellatif (Orsay)
14h00,
Jeudi 15 mars 2012 : Gabriel Dospinescu
14h00, Salle Fokko du Cloux, Lyon 1
Jeudi 29 mars 2012 : Anna Cadoret (Ecole Polytechnique)
14h00,
Jeudi 5 avril 2012 : David Masser
14h00, salle Fokko du cloux, Lyon 1
Jeudi 26 avril 2012 : Jacob Stix
14h00,
Séances passées
Jeudi 6 octobre 2011 : Jorg Wildeshaus- Université Paris 13
Complexe d'intersection motivique
14h00, salle 435
Dans cet exposé, on rappelera d'abord la définition et l'intérêt du complexe d'intersection, notamment en géométrie arithmétique. Ensuite, on expliquera comment relever la définition au niveau des motifs, sans faire appel à des conjectures. On esquissera enfin une nouvelle méthode, permettant la construction fonctorielle (donc, la preuve de l'existence) du complexe d'intersection pour une certaine famille de variétés, dont les compactifications de Baily-Borel (ou toroïdales) des variétés de Shimura.
Jeudi 13 octobre 2011 : Eric Gaudron (Institut Fourier Grenoble)
Théorème des périodes et isogénies
14h00, Salle Fokko du Cloux, Lyon 1
Étant donné une période w d'une variété abélienne A (définie sur un corps de nombres k), notons A_w la plus petite sous-variété abélienne de A dont l'espace tangent à l'origine contient w. Un théorème des périodes donne une majoration du degré de A_w, degré relatif à un plongement projectif de A. Les premières bornes ont été obtenues par Masser et Wüstholz dans les années 90. Ces énoncés permettent d'estimer le degré minimal d'une isogénie entre deux courbes elliptiques isogènes. Dans cet exposé, nous présenterons une nouvelle borne du degré de A_w. Nous mentionnerons une application au problème d'uniformité de Serre (cas Cartan déployé), démontrée récemment par Bilu, Parent et Rebolledo. Il s'agit d'un travail en commun avec Gaël Rémond (Univ. Grenoble I).
Jeudi 20 octobre 2011 : Stefano Morra (Montpellier)
SUR CERTAINES REPRESENTATIONS MODULO p POUR GL2 ET ACTION DE SOUS-GROUPES COMPACTS
14h00, salle A1
Soit F un corps p-adique. On s’int ́eresse au probl`eme de d ́eterminer la restriction des repr ́esentations modulo p de GL2(F) a` certains sous-groupes compacts. On montre, dans le cas F = Qp , l’existence d’une filtration naturelle GL2 (Zp )- ́equivariante sur les objets irr ́eductibles , ce qui permet de leur donner une description fine en termes de poids de Serre. On en d ́eduit leurs espaces des invariants sous plusieurs sous-groupes de congruence, ainsi que leurs restrictions aux sous-groupes de Cartan. D’apr`es la compatibilit ́e locale-globale cela permet d’obtenir la dimension de certains sous-espaces isotypiques de la cohomologie modulo p de plusieurs courbes modulaires.
Jeudi 3 novembre 2011 : Quing Liu
Réduction de courbes elliptiques
14h00, Salle 435
Soit E une courbe elliptique sur un corps de valuation discrète K. Soit L une extension galoisienne de K qui réalise la réduction semi-stable de E. Nous étudions les relations entre les modèles de Weierstrass minimaux de E sur K et sur L, et plus particulièrement leur réductions modulo une puissance de l'uniformisante de K ainsi que l'influence de l'action du groupe de Galois de L/K. Nous étudions également le cas des modèles réguliers minimaux, et répondons positivement à une vieille question de Mazur. Il s'agit d'un travail en commun avec Huajun Lu.
Jeudi 17 novembre 2011 : Lenny Taelman (Leiden)
Un théorème à la Herbrand-Ribet en caractéristique p.
14h00, Lyon 1
Page web : http://www.math.leidenuniv.nl/~lenny/
Le théorème classique de Herbrand-Ribet relie la partie-p du groupe de classes du corps cyclotomique \Q(\zeta_p) aux nombres de Bernoulli B_n. C'est un renforcement du théorème de Kummer qui dit que p divise le nombre de classes si et seulement si p divise B_n pour un n < p - 1. Je parlerai d'une analogue pour l'anneau \F_q[t]. Dans l'exposé on verra comment le théorème classique peut s'interpréter comme un théorème sur le schéma en groupes \mu_p, et en quoi il faut changer ce schéma en groupes pour obtenir un analogue en caractéristique positive. (voir http://arxiv.org/abs/1104.5363).
Jeudi 1er décembre 2011 : Nigel Byott
Galois scaffolds and local Galois module structure
14h00, salle 435
Let L/K be a finite Galois extension of local fields with Galois group G. A long-standing problem is to determine the structure of the valuation ring O_L of L (or, more generally, any of its ideals) as a module over its associated order in K[G]. I will report on joint work with Griff Elder giving a new approach to this problem. We consider only totally ramified extensions whose degree is a power of the residue field. Under favourable conditions (i.e. the existence of a suitable "Galois scaffold"). one can determine when an ideal is free over its associated order purely from numerical ramification data, in a manner which is independent of the precise structure of the Galois group.
Jeudi 8 décembre 2011 : Laurent Fargues (CNRS-IRMA)
A préciser
14h00, salle 435
Jeudi 15 décembre 2011 : Qing Liu (Bordeaux)
Réduction de courbes elliptiques
14h00, salle 435
Soit E une courbe elliptique sur un corps de valuation discrète K. Soit L une extension galoisienne de K qui réalise la réduction semi-stable de E. Nous étudions les relations entre les modèles de Weierstrass minimaux de E sur K et sur L, et plus particulièrement leur réductions modulo une puissance de l'uniformisante de K ainsi que l'influence de l'action du groupe de Galois de L/K. Nous étudions également le cas des modèles réguliers minimaux, et répondons positivement à une vieille question de Mazur. Il s'agit d'un travail en commun avec Huajun Lu.
Jeudi 5 janvier 2012 : Guy Henniart
Sur les représentations modulo p des groupes réductifs p-adiques
14h00, Salle Fokko du cloux, Lyon 1
Le grand succès de l'étude des congruences entre formes
modulaires, pour le grand Théorème de Fermat par exemple, impose
d'examiner aussi son avatar local, à savoir l'étude des représentations
lisses d'un groupe réductif p-adique G dans des espaces vectoriels sur
un corps fini k, le cas des formes modulaires classiques correspondant
au groupe GL(2,Q_p). Le cas le plus difficile est celui où la
caractéristique de k est p, car les sous-groupes ouverts de G n'agissent
pas de façon semi-simple. Les techniques valables quand k est le
corps des nombres complexes s'effondrent presque toutes, mais on peut
encore utiliser l'induction parabolique.
Herzig pour GL(n) et Abe dans le cas déployé ont donné une
classification pour les représentations lisses
irréductibles admissibles (une propriété de finitude), en termes
d'induction parabolique, réduisant ainsi
l'étude au cas des représentations supercuspidales, qui n'apparaissent
pas comme sous-quotient dans une
induite parabolique propre. J'expliquerai ces travaux, ainsi que des
travaux en cours avec Vignéras,
qui visent à obtenir une telle classification pour G général.
Jeudi 12 janvier 2012 : Jean Fasel
Modules projectifs et classes de Chern
14h00, salle 435
Soit $A$ un anneau commutatif de dimension de Krull $d$ et $P$ un $A$-module projectif de rang $r$. Si $P=Q\oplus A$ alors sa classe de Chern superieure c_r(P) est triviale. Conversement, supposons que c_r(P)=0. Peut-on en deduire que $P$ s'ecrit comme ci-dessus? Dans cet expose, nous rappellerons les resultats classiques dans le cas r=d puis passerons au cas r=d-1.
Jeudi 26 janvier 2012 : Cedric Pépin
Modèles de Néron et dualité
14h00, salle Fokko du cloux, Lyon 1
Soit R un anneau de valuation discrète de corps des fractions K. Soit A_K une variété abélienne sur K, de duale A'_K. Soient A et A' leurs modèles de Néron sur R. Grothendieck a formalisé le devenir de la dualité entre A_K et A'_K au-dessus de R, au moyen d'un accouplement entre les groupes des composantes connexes des fibres spéciales de A et A'. L'énoncé de dualité est alors que cet accouplement est parfait. Il a été prouvé sous des hypothèses diverses, mais reste ouvert en général. On en donnera ici une reformulation géométrique, en termes d'équivalence algébrique sur une compactification appropriée de A.
Jeudi 2 février 2012 : Pietro Corvaja
Points entiers sur les surfaces algébriques
14h00, Salle Fokko du cloux, Lyon 1
Une célèbre conjecture de Lang et Vojta prévoit que les points entiers
sur les variétés algébriques de type log-général ne soient pas
Zariski-denses.
Alors que le cas des courbes est résolu, d'après les théorèmes de Siegel
et Faltings, en dimension supérieure la question reste largement ouverte.
On discutera le cas des surfaces, en présentant notamment des résultas
récénts obtenus par Zannier et l'orateur.
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