Séminaire Équations aux dérivées partielles et applications

Ce séminaire a lieu, tous les 15 jours, le mardi de 14h à 16h, en alternance à l'ENS Lyon (salle 435 au 4ème étage) et à Lyon 1 (ICJ, salle Fokko du Cloux).

Organisation : Vincent Calvez et Paul Vigneaux (UMPA), Élise Fouassier (ICJ).

Séances à venir

Mardi 6 mars 2012 : Guy BOUCHITTE (Toulon)

TBA

14h00, salle 435

Mardi 6 mars 2012 : Virginie BONNAILLIE-NOEL (CNRS, IRMAR)

TBA

15h15, salle 435

Mardi 20 mars 2012 : Gilles CARBOU (Pau)

TBA

14h00, salle Fokko du Cloux - 1 étage - Bât. Doyen Jean Braconnier - UCB Lyon 1 - La Doua

Mardi 20 mars 2012 : David GERARD-VARET (Paris 7)

TBA

15h15, salle Fokko du Cloux - 1 étage - Bât. Doyen Jean Braconnier - UCB Lyon 1 - La Doua

Mardi 3 avril 2012 : Angelo IOLLO (Bordeaux)

TBA

14h00, salle 435

Mardi 3 avril 2012 : Laurent GOSSE (Bari, Italie)

TBA

15h15, salle 435

Séances passées

Mardi 11 octobre 2011 : Jean-Marie Mirebeau (CEREMADE, Dauphine)

Deux exemples de méthodes adaptatives pour la résolution d'EDP fortement anisotropes

14h00, salle 435

Les solutions de nombreuses EDP présentent des comportements fortement anisotropes. Leur régularité, mesurée par les normes de certaines dérivées, varie fortement selon les directions spatiales, ce qui suggère voire impose d'utiliser des méthodes de calcul adaptées.
Je présenterai deux résultats récents liés à ces méthodes. Le premier est destiné à la simulation d'EDP par éléments finis sur des maillages non-structurés et potentiellement anisotropes. Il permet de déterminer localement les directions dans lesquelles développer de l'anisotropie, à l'aide d'estimations locales des dérivées des fonctions d'intérêt, dans le but d'approcher efficacement ces fonctions. La particularité notre approche est qu'elle s'applique à des éléments finis de degré arbitraire; nous présenterons des illustrations numériques. Le second résultat est spécifiquement destiné à la résolution de l'équation eikonale avec forte anisotropie sur une grille rectangulaire. En utilisant des outils algébriques, les bases réduites de réseaux, nous montrons comment éliminer le surcoût numérique lié à l'anisotropie. L'équation eikonale a de nombreuses applications, allant de l'imagerie médicale à la génération de maillage, et nous présenterons là aussi des illustrations numériques.

Mardi 11 octobre 2011 : Pierpaolo Esposito (Universita Roma Tre)

Instability of the Yamabe equation

15h15, salle 435

In this talk, I will describe a work in progress (jointly with A. Pistoia and J. Vetois) about the existence of blowing-up solutions for linear perturbations of the Yamabe equation. The Schoen conjecture --concerning the compactness of Yamabe metrics-- is known to hold also when perturbing the linear part from below Instead, we show that perturbations of the linear part from above immediately give rise to non-compact sequence of solutions. The blow-up points can be simple or even non-simple (accumulation of bubbles and bubbles' tower).

Mardi 25 octobre 2011 : Cédric Pozzolini (INSA Lyon)

Résultats théoriques et numériques dans les problèmes de contact et d'impacts

14h00, salle Fokko du Cloux - 1 étage - Bât. Doyen Jean Braconnier - UCB Lyon 1 - La Doua

L'exposé portera d'une part sur des résultats de sensibilité sous contraintes obtenus pour des plaques, et d'autre part sur la modélisation des vibro-impacts, sujet de mes recherche actuelles. Avec les codes de calculs de la mécanique il est possible de suivre numériquement l'évolution des structures soumises à un chargement variable, avec des conditions aux bords classiques. Mais dans le cas des problèmes de contact avec ou sans frottement la solution n'est en général plus dérivable par rapport aux paramètres du problème, ce qui interdit d'appliquer une méthode de continuation classique. La difficulté a été surmontée pour le cas des membranes élastiques en petites et grandes déformations, grâce aux concepts de polyédricité, mais pas encore pour les plaques. Avec Alain Léger nous avons généralisé au bilaplacien le Théorème de stabilité de Schaeffer (1975), valable pour le laplacien. Ce qui fournit la dérivée de la frontière libre par rapport aux forces extérieures de classe $C^{\infty}$, si la frontière libre est $C^{\infty}$. Je donnerai les grandes lignes de nos études théoriques avec Frédéric Bonnans sur l'existence d'une dérivée par rapport aux forces de classe $L2$ de la solution pour le problème d'obstacle d'une barre et d'une plaque élastique, avec des hypothèses sur la zone de contact. Dans une deuxième partie je parlerai de schémas numériques modélisant les vibro-impacts d'une plaque sur obstacles rigides. Le problème étant d'obtenir des algorithmes stables et d'étudier la conservation de l'énergie ainsi que l'influence du coefficient de restitution. Je présenterai un théorème d'existence et quelques tests numériques.

Mardi 25 octobre 2011 : Fabrice Béthuel (Paris 6)

Mouvements lents des fronts pour des systèmes de réaction diffusion multi-puits

15h15, salle Fokko du Cloux - 1 étage - Bât. Doyen Jean Braconnier - UCB Lyon 1 - La Doua

Le phénomène de mouvement lent des fronts pour des systèmes de réactions diffusion est bien connu dans le cas scalaire, en particulier grâce aux travaux de Carr et Pego. Grâce à une approche assez différente, nous étendons une partie des résultats aux cas de systèmes (travaux en commun avec Didier Smets et Giandomenico Orlandi)

Mardi 8 novembre 2011 : Ludovic Goudenege

Équation de champs de phase stochastique avec singularité logarithmique.

14h00, salle 435

On considère un système de deux équations d'évolution non linéaires couplées pour la température et un paramètre d'ordre. Ce système représente un modèle de transition de phase solide-liquide en présence de perturbations aléatoires. La présence d'une singularité dans le potentiel d'énergie empêche le paramètre d'ordre de sortir de l'espace physique [-1,1], alors que les perturbations aléatoires (gaussiennes donc non bornées) ont l'effet inverse. A l'aide d'une méthode d'approximation et de pénalisation, on montrera comment ces deux effets peuvent se compenser pour assurer l'existence d'une solution.

Mardi 8 novembre 2011 : Cristiana Di Russo

Hyperbolic models of cell movements: analytical study and numerical simulations

15h15, salle 435

In the last few years there was an increasing attention for using hyperbolic models in the description of biological phenomena. Here we investigate this framework considering the Gamba-Preziosi model of vasculogenesis. We show the global existence of smooth solutions to the Cauchy problem using entropy methods and we analyze the asymptotic behavior of those solutions showing their decay rate. In the second part of the talk, starting from the ideas of the mixture theory, we propose a model for the growth of phototrophic biofilms, complex aggregations of microorganisms which play a significant role in many natural and engineered systems. An adapted numerical scheme will be presented and some numerical tests will be shown to investigate the influence of parameters. (Joint works with A. Sepe, F. Clarelli, R. Natalini and M. Ribot)

Mardi 22 novembre 2011 : Jan Kristensen (Oxford)

From rank-one convexity to Ornstein's non-inequality

14h00, salle Fokko du Cloux - 1 étage - Bât. Doyen Jean Braconnier - UCB Lyon 1 - La Doua

Mardi 22 novembre 2011 : Raphael Voituriez (Paris 6)

Temps de premier passage et stratégies de recherche de cibles.

15h15, salle Fokko du Cloux - 1 étage - Bât. Doyen Jean Braconnier - UCB Lyon 1 - La Doua

Combien de temps faut-il à un ``chercheur'' pour atteindre un point ``cible'' donné pour la première fois ? Ce temps de premier passage est en fait une quantité clef qui intervient par exemple dans l'évaluation de la constante cinétique d'une réaction chimique limitée par la diffusion, du temps qu'un animal met pour trouver sa nourriture, ou encore de la vitesse de propagation d'une épidémie.
Dans un premier temps, je présenterai des résultats récents qui permettent une évaluation asymptotique de la distribution du temps de premier passage pour une large classe de chercheurs aléatoires évoluant dans un espace confiné. Cette approche révèle une dépendance universelle du temps moyen de premier passage, d'une part en fonction du volume du système et d'autre part en fonction de la distance entre les points de départ et d'arrivée de la marche. Je montrerai brièvement comment ces résultats s'appliquent au transport dans des structures fractales ou en milieux désordonnés, ou encore à la diffusion anormale.
Enfin, je montrerai que les processus de recherche dits intermittents, qui combinent des phases de recherche minutieuse et des phases de déplacement pur, sont des stratégies de recherche efficaces qui permettent de minimiser le temps de recherche. Je m'appuierai sur 2 exemples à des échelles très differentes: la réactivité chimique dans les cellules vivantes d'une part, et la recherche de nourriture par certains animaux d'autre part.

Mardi 6 décembre 2011 : Jérôme Coville (INRA - Avignon)

Non existence de solution positive global pour une classe d'EDP semi-linéaire à coefficients aléatoires

14h00, salle 435

Je présenterai tout d'abord les résultats que j'ai obtenu en collaboration avec Nicolas Dirr (Warwick) et Stephan Luckhaus (Leipzig) sur la non existence de solution positive pour une équation du type $$ u_{xx}+f(x,u(x),o)+F=0 \quad \text{ sur } \R$$ où $f(x,s,o)$ est un champ aléatoire sur $\R2$ décrivant un certain type d'environnement. J'exposerai ensuite les conséquence de ce résultat sur le comportement de l'interface, I:=(t,u(x,t)) où $u(x,t)$ est solution du problème parabolique correspondant.

Mardi 6 décembre 2011 : Gael Raoul (Cambridge)

Etude d’un modèle intégro-différentiel pour l’évolution

15h15, salle 435

On s’intéresse à une population structurée par un trait phénotypique, c’est à dire une caractéristique physique d’un individu (résistance d’une bactérie à un produit chimique, par exemple). Le taux de croissance de la population est une fonction dépendant du trait phénotypique, et de l’ensemble de la population. Ce modèle très simple permet aux biologistes d’étudier des phénomènes évolutifs tels que l’apparition d’espèces, la diversité phénotypique au sein de ces espèces, etc.
Nous essayons de comprendre par une approche mathématique la dynamique en temps long de la population, ainsi que des situations où la population en évolution est également structurée par une variable d'espace.

Mardi 10 janvier 2012 : Matthieu HILLAIRET (Dauphine)

Problème de Navier Stokes extérieur en dimension 2

14h00, salle Fokko du Cloux - 1 étage - Bât. Doyen Jean Braconnier - UCB Lyon 1 - La Doua

Dans cet expose, je parlerai de la resolution des equations de Navier Stokes incompressibles stationnaires posees dans un domaine exterieur. Je m'interesserai en particulier aux solutions d'energie finie c'est-a-dire dont le champ de vitesses est de gradient L^2. Pour construire de telles solutions, une difficulte majeure est qu'en dimension 2, il n'est pas clair qu'une solution d'energie finie s'annule a l'infini. Dans une premiere partie, je motiverai l'etude du probleme de Navier Stokes exterieur. Je presenterai ensuite differentes etudes en collaboration avec P. Wittwer afin de construire des solutions d'energie finie s'annulant a l'infini avec un taux de decroissance explicite.

Mardi 10 janvier 2012 : Céline GRANDMONT (INRIA Rocquencourt)

Analyse Mathematique de quelques problemes d'interaction fluide-structure

15h15, salle Fokko du Cloux - 1 étage - Bât. Doyen Jean Braconnier - UCB Lyon 1 - La Doua

Les phenomenes d'interaction fluide-structure interviennent dans de tres nombreuses applications telles l'aeronautique, l’hydrodynamique, l’acoustique ou encore la biomecanique. Ces phenomenes sont dits couples car le deplacement de la structure depend des efforts appliques par le fluide sur la structure et reciproquement. Dans le cas ou les deplacements de la structure ont une amplitude telle que l'on ne peut pas les supposer infinitesimaux, cela fait apparaitre de plus des non linearites geometriques. Ces dernieres annees de nombreux travaux ont ete consacres a l'etude de l'existence de solution pour de tels systemes. On se placera ici dans le cas ou le fluide est newtonien, visqueux, incompressible satisfaisant aux equations de Navier-Stokes. La structure est, quant a elle, deformable situee sur une partie du domaine fluide et decrite par des equations de plaque en flexion. On presentera un resultat d'existence de solutions faibles dans le cas d'une plaque avec un terme d'amortissement puis on montrera pourquoi la dissipation fluide permet de passer a la limite quand le coefficient d'amortissement tend vers zero.

Mardi 24 janvier 2012 : Matthieu ALFARO (Montpellier)

Comportement asymptotique de l'équation d'Allen-Cahn

14h00, salle 435

On sait que la limite singulière de l'équation d'Allen-Cahn est le mouvement par courbure moyenne version classique (X. Chen) ou généralisée (Evans-Soner-Souganidis). On présentera trois résultats récents précisant ce comportement. En version classique, on donnera un taux de convergence "espace" et discutera la validité du développement formel des solutions. En version généralisée on donnera un taux de convergence "espace-temps".

Mardi 24 janvier 2012 : Yves COUDIERE (INRIA Bordeaux)

Les opérateurs bidomaine et monodomaine de l'électrocardiologie.

15h15, salle 435

Les équations bidomaines constituent actuellement le modèle le plus complet pour représenter à l'échelle macroscopique le fonctionnement électrique d'un tissu excitable, comme le myocarde. Il s'agit d'un système dégénéré de deux équations de réaction-diffusion couplées à un système d'équations différentielles. Sous une hypothèse de modélisation ces équations se simplifient en une équation scalaire de réaction-diffusion couplée au système d'EDO. Ce sont les équations monodomaine.
Après avoir exposé le modèle et illustré son intérêt pratique, je montrerais comment on peut reformuler les équations bidomaine comme une équation monodomaine en remplaçant l'opérateur différentiel de diffusion de celui-ci par un opérateur elliptique plus général, appelé opérateur bidomaine. Grâce à l'éclairage nouveau sur les équations apporté par ce résultat, nous démontrons l'existence et l'unicité de solutions faibles globale des équations bidomaines puis nous pouvons étudier l'écart entre les solutions monodomaine et bidomaine. Ces résultats sont illustrés expérimentalement.

Mardi 7 février 2012 : Belhassen DEHMAN (Tunis, Tunisie)

Analysis of the HUM Control Operator for the Wave Equation

14h00, salle Fokko du Cloux - 1 étage - Bât. Doyen Jean Braconnier - UCB Lyon 1 - La Doua

In this talk, we present the results of a joint work with G.Lebeau. We proceed to a detailed analysis of the HUM optimal control operator of J.L.Lions associated to interior control of linear waves. More precisely, under the Geometric Control Condition of Bardos-Lebeau-Rauch, we prove that this operator is an isomorphism on each Sobolev space and essentially acts individually on each frequency block of the data to be controlled. Moreover, on a compact manifold without boundary, it is an elliptic pseudo-differential operator of zero order. We use this analysis together with Strichartz estimates to get results on the exact controllabilty for subcritical nonlinear waves in a bounded domain of R^3.

Mardi 7 février 2012 : Laurent DESVILLETTES (ENS de Cachan)

Evolution de populations structurées par rapport à un trait : une approche par équations intégrodifférentielles non linéaires

15h15, salle Fokko du Cloux - 1 étage - Bât. Doyen Jean Braconnier - UCB Lyon 1 - La Doua

On considère une classe d'équations intégrodifférentielles introduites par Kimura dans les années 60, et dédiées à l'étude des populations structurées par rapport à un trait phénotypique (comme la taille ou la fertilité des individus). Le modèle inclut les effets de la sélection naturelle et de la compétition. On étudie le comportement en temps grand de ces équations et on présente l'interprétation de ces résultats en dynamique des populations.

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