Séminaire de géométrie et dynamique

Ce séminaire a lieu les mercredis à 14h, en salle 435, ENS Lyon.

Par ailleurs le Séminaire Géométries de Lyon 1 a lieu tous les vendredis à 10h30 ; il est ainsi possible d'assister aux deux séminaires. Voici le programme du séminaire de Lyon 1.

Séances à venir

Mercredi 4 mars 2015 : Robin Tucker-Drob

Invariant means and the structure of inner amenable groups

Page web : http://www.math.rutgers.edu/~rt437/

I will discuss actions of groups which are amenable in the sense that there exists a mean on X which is invariant under the action of G. Assuming that G is nonamenable, we obtain structural results for the stabilizer subgroups of amenable actions which allow us to relate the first L^2 -Betti number of G with that of the stabilizer subgroups. An analogous relationship is also shown to hold for cost. Even more can be said in the particular case of an atomless mean for the conjugation action – that is, when G is inner amenable. We show that inner amenable groups have cost 1 and moreover they have fixed price. We establish U_fin -cocycle superrigidity for the Bernoulli shift of any nonamenable inner amenable group. In addition, we provide a concrete structure theorem for inner amenable linear groups over an arbitrary field. We also completely characterize linear groups which are stable in the sense of Jones and Schmidt. Our analysis of stability leads to many new examples of stable groups; notably, all nontrivial countable subgroups of the group H( R ), recently studied by Monod, are stable. This includes nonamenable groups constructed by Monod and by Lodha and Moore, as well as Thompson’s group F.

Mercredi 11 mars 2015 : Rodolfo Rios-Zertuche

The variational structure of the space of holonomic measures

Page web : https://web.math.princeton.edu/~rrios/

We introduce a space of measures that represent submanifolds, and we obtain a set of stability conditions that are strictly more general than the Euler-Lagrange equations. To show this, we give three examples that, respectively, recover those equations, produce higher-dimensional analogues of energy conservation, and suggest a very general version of the weak KAM theorem. We also discuss how these stability conditions imply regularity properties of the critical points.

Mercredi 18 mars 2015 : Rémi Coulon

TBA

Page web : http://rcoulon.perso.math.cnrs.fr/

Mercredi 25 mars 2015 : Thomas Letendre

TBA

Page web : http://math.univ-lyon1.fr/~letendre/

Mercredi 8 avril 2015 : Marcelo Alves

TBA

Page web : http://cast.ulb.ac.be/Brussels/people.php

Mercredi 29 avril 2015 : Vincent Colin

TBA

Page web : http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/~vcolin/

Mercredi 13 mai 2015 : Thomas Delzant

COLLOQUIUM : TBA

Page web : http://www-irma.u-strasbg.fr/~delzant/

Mercredi 20 mai 2015 : Christophe Bavard

TBA

Page web : http://www.math.u-bordeaux1.fr/imb/fiche-personnelle?uid=cbavard

Séances passées

Mercredi 17 septembre 2014 : San Vũ Ngọc

COLLOQUIUM : Géométrie symplectique et théorie spectrale inverse pour les systèmes intégrables

Page web : http://blogperso.univ-rennes1.fr/san.vu-ngoc/

La théorie spectrale inverse est souvent associée à la géométrie euclidienne: peut-on entendre la forme d'un tambour ? La variante riemannienne existe aussi depuis longtemps. Du point de vue de la mécanique quantique, via l'équation de Schrödinger, un autre problème spectral inverse est plus pertinent: retrouver la fonction "potentiel" à partir du spectre quantique. Depuis une dizaine d'années, je m'intéresse à la variante "symplectique" de la théorie spectrale inverse, qui d'une certaine façon englobe ces deux problèmes. La question initiale d'analyse spectrale est basculée vers la géométrie symplectique via l'analyse microlocale, et soulève de nombreuses et riches questions de classification symplectique. Je parlerai de résultats récents concernant certains types de systèmes hamiltoniens intégrables pour lesquels on sait retrouver de nombreux objets géométriques à partir du spectre.

Mercredi 24 septembre 2014 : Jean-Yves Welschinger

Nombres de Betti des ensembles nodaux aléatoires d'opérateurs elliptiques

Page web : http://math.univ-lyon1.fr/~welschinger/

J’expliquerai une majoration récemment obtenue en collaboration avec Damien Gayet des nombres de Betti d’ensembles nodaux aléatoires d’opérateurs (pseudo-) différentiels elliptiques autoadjoints positifs sur une variété différentielle fermée.

Mercredi 1er octobre 2014 : Alexander Bufetov

COLLOQUIUM : Quasi-Symetries des Processus Determinantaux

Page web : http://amidex.univ-amu.fr/en/alexander-bufetov

Le resultat principal de l'expose est la quasi-invariance des processus determinantaux ayant noyau integrable par le groupe des diffeomorphismes ayant support compact. Au cas discret la quasi-invariance a lieu par rapport a l'action naturelle du groupe symetrique infini. L'expose se base sur la prepublication http://arxiv.org/pdf/1409.2068v1.pdf

Mercredi 8 octobre 2014 : Milena Pabiniak

On displaceability of pre-Lagrangians in toric contact manifolds

Page web : http://www.math.cornell.edu/~milena/

In symplectic geometry one can observe a rigidity of intersections: certain (Lagrangian) submanifolds are forced to intersect each other in more points than an argument from algebraic or differential topology would predict. For example, every compact symplectic toric manifold contains a non-displaceable (i.e. one that cannot be made disjoint from itself by the means of a Hamiltonian isotopy) Lagrangian toric fiber. In contact geometry, pre-Lagrangians play a related role. We define this notion and explore the question of displaceability of pre-Lagrangian toric fibers in toric contact manifolds. We obtain some results complementary to the symplectic rigidity case. In particular, we show that every generic orbit in the toric contact sphere S^{2d-1}, d>1, is displaceable while every generic orbit in T^d \times S^{d-1}, d>1, is non-displaceable. The first result is related to the non-orderability of the sphere, while the second one seems to be related to the existence of a free toric action. We discuss possible generalizations of these examples. This is a joint work with Aleksandra Marinkovic.

Mercredi 15 octobre 2014 : Frédéric Faure

COLLOQUIUM : Spectre discret en bandes et fonction zêta des flots de contact Anosov

Page web : http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~faure/

Le flot géodésique sur une variété de courbure négative (pas forcément constante) est un modèle de “dynamique très chaotique”. En utilisant l'analyse semi-classique on montrera que le champ de vecteur qui génère ce flot a un spectre discret intrinsèque dans des espaces de Sobolev spécifiques. Ce spectre, appelé “résonances de Ruelle”, gouverne l'expansion asymptotique des fonctions de corrélations dynamiques. Il est structuré en bandes séparées par des gaps. Nous expliquerons qu'une fonction “zêta semi-classique” (ou fonction “zêta de Gutzwiller Voros”) relie ce spectre aux longueurs des orbites fermées et qu'elle généralise la fonction zêta de Selberg au cas courbure non constante. On peut interpréter ces résultats en disant que la dynamique quantique émerge des fonctions de corrélations classiques. (Travail avec Johannes Sjöstrand et Masato Tsujii.)

Mercredi 22 octobre 2014 : Vinicius Gripp Ramos

Embedded contact homology and symplectic embeddings

Page web : http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/~ramos/

Embedded contact homology (ECH) is a Floer-type invariant of three-manifolds defined by M. Hutchings. It gives rise to a sequence of obstructions to symplectic embeddings, which are sharp in many cases. In this talk, I will explain some of these results. In particular, I will speak about why ECH capacities are sharp for certain ball packings of ellipsoids and more general toric domains.

Mercredi 5 novembre 2014 : Umberto Hryniewicz

A systolic inequality for geodesic flows on the two-sphere

Page web : http://www.im.ufrj.br/visualizarDocente.php?idDepartamento=5&idDocente=93

In this talk I would like to present a result in systolic geometry obtained in collaboration with Alberto Abbondandolo, Pedro A. S. Salomão and Barney Bramham. A difficult open question in systolic geometry is the following: What is the supremum among all metrics on the two-sphere of the 'systolic ratio', defined as the ratio between the square of the length of the shortest closed geodesic and the area? The Calabi-Croke example shows that a metric of constant curvature is not a global maximizer of the systolic ratio, but Balacheff asked if it is a local maximizer. Our result answers Balacheff's question positively: if a metric is pinched by a constant larger than 0,8307... then the systolic ratio is at most equal to pi, with equality precisely when the metric is Zoll.

Mercredi 12 novembre 2014 : Vincent Pecastaing

Actions conformes de PSL(2,R) sur des variétés lorentziennes compactes

Page web : http://www.math.u-psud.fr/~pecastai/

Au milieu des années 1980, R. Zimmer a démontré qu'à isomorphisme local près, PSL(2,R) est le seul groupe de Lie simple non-compact qui peut agir par isométries sur une variété lorentzienne compacte. Peu de temps après, M. Gromov a décrit quelles sont les possibilités pour la géométrie d'une variété lorentzienne compacte supportant une action isométrique d'un tel groupe.
Dans cet exposé, je vais présenter des résultats qui ont été motivés par des questions analogues concernant les actions par transformations conformes de groupes de Lie simples sur des variétés lorentziennes compactes. Je vais particulièrement m'intéresser à des actions conformes de groupes localement isomorphes à PSL(2,R), qui ne sont pas parmi les exemples d'actions isométriques décrites par Zimmer et Gromov, et je donnerai un énoncé assurant la platitude conforme de la variété, en régularité analytique.

Mercredi 19 novembre 2014 : Fabian Ziltener

Coisotropic Submanifolds of Symplectic Manifolds and Leafwise Fixed Points

Page web : http://www.staff.science.uu.nl/~zilte001/

Symplectic manifolds arise as phase space in classical mechanics, and coisotropic submanifolds as level sets for an autonomous Hamiltonian. We fix such a level set and denote by $\phi$ the time-one flow for a time-dependent perturbation of the Hamiltonian. A leaf-wise fixed point of $\phi$ is a point on the level set whose trajectory is changed only by a phase shift, under the perturbation.
I will discuss a lower bound on the number of leaf-wise fixed points of a Hamiltonian diffeomorphism. As an application the sphere is not symplectically squeezable. This improves a non-squeezing result by M. Gromov.

Mercredi 26 novembre 2014 : Vincent Humilière

Interprétation dynamique et calcul des invariants spectraux hamiltoniens sur les surfaces

Page web : http://www.math.jussieu.fr/~humi/

Les invariants spectraux sont des nombres associés canoniquement aux flots hamiltoniens sur une variétés symplectique, et qui portent de l'information sur les orbites périodiques. Ces invariants ont une multitude d'applications mais ils demeurent assez mystérieux et rares sont les exemples où l'on peut les calculer explicitement. Dans cet exposé je parlerai d'un travail en commun avec Frédéric Le Roux et Sobhan Seyfaddini où nous donnons une interprétation dynamique et une formule explicite de ces invariants sur les surfaces (autres que la sphère) pour tous les hamiltoniens autonomes.

Mercredi 3 décembre 2014 : Dmitry Todorov

Shadowing, structural stability, and solvability of systems of linear difference equations along orbits

Page web : https://sites.google.com/site/dmitrytodorovmath/

It is well known that hyperbolic dynamical systems on closed smooth manifolds are stable in several senses. They are stable with respect to small perturbations of the whole system (structural stability) and with respect to small “per iteration” perturbations along trajectories (shadowing). It is now folklore that structural stability is equivalent to hyperbolicity. Recently it was shown by Pilyugin and Tikhomirov that certain quantitative version of shadowing is equivalent to hyperbolicity as well. The method is to relate shadowing and hyperbolicity using solvability of certain systems of linear difference equations along orbits. I will explain the method and show how it works for some non classical shadowing and shadowing-like properties.

Mercredi 10 décembre 2014 : Alexander Plakhov

Invisibility and retro-reflection in billiards

We consider the problem of invisibility for bodies with mirror surface within the scope of geometrical optics. The problem amounts to studying billiards in the exterior of bounded regions. Examples of bodies invisible in 1, 2, and 3 directions and bodies invisible from 1 and 2 points are provided in the talk. It is proved that there do not exist bodies invisible in all directions. The question of maximum number of directions and/or points of invisibility of a body remains open. The duality between invisibility (unperturbed billiard trajectories outside a bounded domain) and periodic billiard trajectories inside the domain is also discussed. Further, we consider retro-reflecting bodies with mirror surface. A body is called a perfect retroreflector, if the direction of any beam of light incident on it is changed to the opposite. We provide several examples of asymptotically retro-reflecting sequences of bodies. On the other hand, it is not known if there exist perfect billiard retroreflectors.

Mercredi 17 décembre 2014 : Will Merry

Orderability and the Weinstein Conjecture

Page web : http://www.merry.io/

Joint work with Peter Albers and Urs Fuchs. In 2000 Eliashberg-Polterovich introduced the natural notion of orderability of contact manifolds; that is, the (non)existence of positive loops of contactomorphisms. I will explain how one can study orderability questions using the machinery of Rabinowitz Floer homology. We establish a link between orderable and hypertight contact manifolds, and show that the Weinstein Conjecture holds (i.e. there exists a closed Reeb orbit) whenever there exists a positive (not necessarily contractible) loop of contactomorphisms.

Mercredi 7 janvier 2015 : Vincent Guirardel

COLLOQUIUM : Petite simplification et avatars

Page web : http://perso.univ-rennes1.fr/vincent.guirardel/

La théorie de la petite simplification est nee dans les années 50 sous forme combinatoire. Elle s'est ensuite largement généralisée, et sa formulation géométrique a permis d'ouvrir le champ de ses applications. Dans cet expose, je décrirai cette théorie en faisant le parallèle entre l'énoncé combinatoire initial et la formulation géométrique moderne, et en l'illustrant par une version du théorème de Thurston du remplissage de Dehn pour les variétés hyperboliques de dimension 3 de volume fini.

Mercredi 14 janvier 2015 : Patrick Popescu-Pampu

Plombages et sommes de Murasugi généralisées

Page web : http://math.univ-lille1.fr/~popescu/

Je présenterai un travail fait en collaboration avec Burak Ozbagci. Nous proposons une généralisation des notions classiques de plombage et de somme de Murasugi aux variétés lisses de dimension quelconque, de telle manière que le credo de Gabai ``la somme de Murasugi est une opération géométrique naturelle'' reste valable. En particulier, nous prouvons que la somme des pages de deux livres ouverts est encore une page de livre ouvert et qu'il y a une opération associée de somme des applications de Morse. Je terminerai en formulant quelques questions ouvertes qui relient notre travail à la théorie des singularités ou a la topologie de contact.

Mercredi 21 janvier 2015 : Colin Guillarmou

Transformée rayon X et problème de rigidité du bord

Page web : http://www.math.ens.fr/~guillarmou/

On discutera du problème inverse géométrique suivant: peut-on déterminer une métrique sur une variété à bord strictement convexe à partir de l'ensemble des longueurs des géodésiques qui relient les points du bord ? L'outil de base pour étudier ce problème est la transformée rayon X qui est semblable en quelque sorte à la transformée de Radon.

Mercredi 28 janvier 2015 : Nena-Maria Röttgen

Trapped Reeb orbits do not imply periodic ones

Eliashberg and Hofer proved in 1994 that every Reeb flow on R³ that has a trapped orbit, i.e. an orbit that goes to infinity in negative time and is bounded in positive time, has also a periodic orbit if the Reeb vector field is induced by a contact form that coincides with the standard contact form outside a compact set. In 2012, Hofer conjectured on a conference in Lyon that an analogous result holds for arbitrary odd dimension. I will present examples of contact forms that disprove this conjecture. These examples provide a family of "semi-contact-plugs" and I will explain connections of these plugs to (non-) existence results for closed orbits.

Mercredi 4 février 2015 : Yves Stalder

Plongements denses dans le groupe symétrique infini

Page web : http://math.univ-bpclermont.fr/~stalder/

Quels groupes dénombrables sont isomorphes à des sous-groupes denses du groupe symétrique infini ? On donnera la réponse à cette question pour quelques classes de groupes. On discutera en particulier le cas de certains groupes opérant sur des arbres (travail en commun avec Pierre Fima et Soyoung Moon).

Mercredi 25 février 2015 : Marcel Guardia

Nearly integrable Hamiltonian systems with orbits accumulating to sets of positive measure

Page web : http://webusers.imj-prg.fr/~marcel.guardia/

The quasi-ergodic hypothesis, proposed by Ehrenfest and Birkhoff, says that a typical Hamiltonian system of n degrees of freedom on a typical energy surface has a dense orbit. This question is wide open. In this talk I will explain a recent result by V. Kaloshin and myself which can be seen as a weak form of the quasi-ergodic hypothesis. We prove that a dense set of perturbations of integrable Hamiltonian systems of two and a half degrees of freedom posess orbits which accumulate in sets of positive measure. In particular, they accumulate in prescribed sets of KAM tori.

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