Séminaire de géométrie et dynamique
Année 2007-2008
Mercredi 26 septembre 2007 : Jacques Féjoz (Jussieu)
Familles de Lyapounov bifurquant d'équilibres relatifs, et orbites minimisantes
Un équilibre relatif horizontal du problème des n corps donne souvent naissance, par variation infinitésimale verticale, à des solutions quasipériodiques à deux fréquences. Ces dernières deviennent périodiques dans les repères tournants qui mettent en résonance la fréquence de l'équilibre relatif et celle de la variation verticale. En faisant ensuite varier la vitesse de rotation du repère on peut prolonger ces solutions et obtenir une famille remarquable de solutions périodiques. Le premier exemple en est la famille $P_12$ découverte par Marchal, qui relie l'équilibre relatif de Lagrange à la chorégraphie du Huit. Dans les cas les plus simples, la famille obtenue minimise l'action lagrangienne parmi les solutions périodiques ayant le même groupe de symétrie.
Mercredi 3 octobre 2007 : Klaus Niederkrüger
Géométrie de contact en grande dimension
La géométrie de contact est similaire à la géométrie symplectique, mais les espaces que l'on étudie sont de dimension impaire. La difficulté du sujet augmente rapidement avec la dimension: en dimension un, il n'y a que le cercle, en dimension trois, la théorie est très riche avec beaucoup de structures et de résultats. Malheureusement en dimension 5 et plus on ne sait presque rien. Dans mon exposé, j'expliquerai quelques résultats en dimension trois puis je parlerai des tentatives de généralisation aux dimensions cinq et plus.
Mercredi 10 octobre 2007 : Martin Deraux (Institut Fourier)
Quelques remarques sur la classification des faux plans projectifs
Un faux plan projectif est une surface complexe compacte qui a les mêmes nombres de Betti que le plan projectif complexe, mais qui ne lui est pas isomorphe. Il est bien connu qu'une telle surface est un quotient de la boule unité, donc son groupe fondamental se plonge dans PU(2,1) comme un réseau cocompact. Ce réseau est arithmétique par un théorème de Klingler et Yeung; j'expliquerai comment les travaux récents de Prasad et Yeung permettent de montrer qu'il est en fait arithmétique de second type, c'est-à-dire qu'il provient d'une forme hermitienne sur un corps gauche.
Lundi 15 octobre 2007 : Yakov Pesin (Pennsylvania State University)
Anosov rigidity: nonunifrom hyperbolicity everywhere implies uniform one
The hyperbolic theory of dynamical systems studies two main types of
behavior of trajectories known as uniform and nonuniform hyperbolicities.
The uniform hyperbolicity includes such famous sitations as Anosov systems
and Smale horseshoes, but it imposes some strong restrictions on the
topology of the phase spase of the system. Thus there are not too many
examples of such systems. The nonuniform hyperbolicity is a weaker
requirement than the uniform one and puts no restrictions on the topology.
Thus any compact smooth manifold admits a nonuniform hyperbolic system.
Furthermore, nonuniform hyperbolicity provides a rigorous mathematical
foundation for the study of "chaotic" motions, their appearance and
evolution.
In the talk I will describe both types of hyperbolicity, give examples of
hyperbolic systems and describe a remarkable newly discovered relation
between them known as Anosov rigidity.
Mercredi 17 octobre 2007 : Vincent Minerbe (Université de Nantes)
Variétés asymptotiquement plates à croissance du volume non maximale
Nous nous intéresserons aux variétés riemanniennes complètes non compactes dont la courbure tend (vite) vers zéro à l'infini. Quand la croissance du volume est euclidienne, on comprend bien la géométrie à l'infini de telles variétés. Notre objectif est de décrire de nouveaux résultats dans le cas où la croissance du volume est plus lente. Ceci nous permettra de caractériser les instantons gravitationnels de type ALF.
Mercredi 24 octobre 2007 : Philippe Thieullen (Université Bordeaux 1)
Convergence par refroidissement de la mesure de Gibbs vers un état fondamental privilégié
On peut associer à chaque observable A(x) d'un sous shift de type fini
un ensemble de mesures invariantes dites "mesures maximisantes".
Lorsque cette observable A ne dépend que d'un nombre fini de
coordonnées, J. Brémont a montré que la mesure de Gibbs associée à
l'observable tA(x), t un réel tendant vers l'infini, converge vers une
mesure maximisante privilégiée.
Dans un travail en cours avec Eduardo Garibaldi, nous décrivons sur
quelques exemples un algorithme permettant de construire précisément la
mesure limite.
Mercredi 31 octobre 2007 : Andrzej Zuk (Université Paris 7)
Groupes d'automates
Mercredi 7 novembre 2007 : Gonzalo Contreras (CIMAT, Mexico)
C2-densely the 2-sphere has an elliptic closed geodesic.
14h00, Amphi C, ENS
We prove that the 2-sphere and the projective plane have a dense set, in the C2 topology, of C-infinity riemannian metrics which have a (generic) elliptic closed geodesic. In particular these riemannian metrics have a geodesic flow which is not ergodic and with positive topological entropy. This result recovers in the generic case a claim by Henri Poincare' and proves a conjecture by Michel Herman.
Mercredi 14 novembre 2007 : ANNULÉ ! Boris Adamczewski (Lyon 1)
Nombres réels choisis au hasard, nombres algébriques et approximation diophantienne
Le comportement du développement décimal ou du développement en fraction continue de la plupart des nombres réels est bien compris grâce aux propriétés ergodiques de systèmes dynamiques sous-jacents. En particulier, cela conduit, dans le contexte approprié, à la notion de "nombre normal". En dépit de spéculations audacieuses, dues notamment à E. Borel et S. Lang, il est malheureusement difficile d'obtenir des renseignements sur les suites des chiffres correspondant à des constantes mathématiques classiques comme $pi$, $\zeta(3)$ ou encore $\sqrt 2$. J'essaierai d'expliquer comment un outil diophantien puissant, le théorème du sous-espace de W. M. Schmidt, a récemment été utilisé afin d'obtenir de nouveaux résultats sur les représentations des nombres algébriques.
Mercredi 21 novembre 2007 : Romain Tessera (Vanderbilt University)
Fonction de Dehn dans les groupes de Lie
Dans un travail commun avec Yves de Cornulier, nous cherchons une caracterisation algebrique des varietes riemanniennes homogenes dont la fonction de Dehn croit exponentiellement. Nous exhibons une condition suffisante, dont nous conjecturons qu'elle est en fait necessaire. Nous prouvons cette conjecture dans le cas des groupes de Lie metabeliens, et dans le cas plus subtil du groupe d'Abels. Nous deduisons de cette condition suffisante une nouvelle demonstration de la caracterisation des varietes homogenes hyperboliques.
Mercredi 28 novembre 2007 : Patrick Popescu-Pampu (Institut de Mathématiques de Jussieu)
Cohomologie des varietes Stein ou Milnor remplissables
Une variete de dimension impaire est dite Milnor remplissable si elle est diffeomorphe au bord abstrait d'une singularite isolee d'espace analytique normal. Je prouverai des proprietes cohomologiques des varietes Stein remplissables, puis Milnor remplissables de dimension au moins 5. Ceci permettra d'exhiber des exemples de varietes Milnor remplissables qui ne sont pas Stein remplissables, dont certains generalisent des exemples d'Eliashberg, Kim et Polterovich, ainsi que de varietes qui ne sont pas Milnor remplissables. En particulier, aucun tore de dimension impaire n'est Milnor remplissable, ce qui repond a une question de Ghys.
Vendredi 7 décembre 2007 : Julien DUVAL (Toulouse)
Le theoreme de Green
10h30, salle 112 - 1 étage - Bât. Doyen Jean Braconnier
On presente une demonstration elementaire du theoreme de Green, l'hyperbolicite de P2(C) prive de 5 droites en position generale, dans l'esprit de celle de Ros du theoreme de Picard.
Mercredi 12 décembre 2007 : Boris Adamczewski (Lyon 1)
Nombres réels choisis au hasard, nombres algébriques et approximation diophantienne
Le comportement du développement décimal ou du développement en fraction continue de la plupart des nombres réels est bien compris grâce aux propriétés ergodiques de systèmes dynamiques sous-jacents. En particulier, cela conduit, dans le contexte approprié, à la notion de "nombre normal". En dépit de spéculations audacieuses, dues notamment à E. Borel et S. Lang, il est malheureusement difficile d'obtenir des renseignements sur les suites des chiffres correspondant à des constantes mathématiques classiques comme $pi$, $\zeta(3)$ ou encore $\sqrt 2$. J'essaierai d'expliquer comment un outil diophantien puissant, le théorème du sous-espace de W. M. Schmidt, a récemment été utilisé afin d'obtenir de nouveaux résultats sur les représentations des nombres algébriques.
Mercredi 19 décembre 2007 : Paul Biran (Tel-aviv University, ETH Zurich)
Lagrangian quantum homology
In this talk we shall discuss the relation between Floer theory for
Lagrangian submanifolds and the quantum homology theory of the ambient
symplectic manifold. In particular we shall explain a recent
construction that exhibits the Lagrangian Floer homology in a
canonical way as a (non-commutative) algebra over the quantum homology
of the ambient manifold.
We shall present several applications to symplectic packing, questions
on the topology of Lagrangians and enumerative geometry of
holomorphic disks.
Joint work with Octav Cornea.
Mercredi 9 janvier 2008 : Frédéric Mangolte (Université de Savoie)
Modèles algébriques réels des variétés lisses de dimensions 3
Motivé par un théorème de Comessatti (1914) qui dit qu'une composante connexe orientable d'une surface rationnelle réelle est une sphère ou un tore, nous donnerons un aperçu des recherches récentes sur la topologie des variétés réelles uniréglées de dimension 3. En collaboration avec F. Catanese, nous avons prouvé une série de conjectures de J. Kollar (1999) concernant les 3-variétés réelles fibrées en courbes rationnelles. Ces variétés forment une sous-classe importante des variétés uniréglées. Un corollaire important de nos résultats est qu'une composante connexe orientable d'une telle variété est "essentiellement" une variété fibrée (de Seifert) au dessus d'une 2-orbivariété sphérique ou euclidienne.
Mercredi 16 janvier 2008 : Laurent Stolovitch (Université Paul Sabatier)
Problème de Rigidité pour les perturbation de champs de vecteurs quasi-homogènes
14h00, Amphi A, ENS
Nous considérons les perturbations holomorphes d'un champs de vecteurs quasi-homogenes S au voisinage de l'origine de l'espace complexe à n-dimension. Apres avoir défini une notion de forme normale de la perturbation relativement à S, nous définissons la notion de "diophantianite" de S. Nous montrons alors que si S est diophantien et si la perturbation est formellement conjuguée à S alors elle l'est aussi holomorphiquement. Nous parlerons ensuite de l'existence (germes) d'ensembles analytiques invariants à l'origine
Mercredi 23 janvier 2008 : Corentin Boissy (Université de Rennes 1)
Échanges d'intervalles associés à des différentielles quadratiques
Le lien entre différentielles abéliennes et échanges d'intervalles fournit un outil puissant pour l'étude du flot de Teichmüller. On propose une généralisation de cette représentation au cadre des différentielles quadratiques. On relie les propriétés géométriques et dynamiques de ces applications à des critères combinatoires explicites portant sur les permutations généralisées associées
Mercredi 30 janvier 2008 : Julien Melleray (Université Lyon 1)
L'espace d'Urysohn et sa géométrie
L'espace d'Urysohn, construit en 1924, est l'unique espace métrique complet séparable (=polonais) qui soit à la fois ultrahomogène (toute isométrie entre sous-ensembles finis s'étend à l'espace entier) et universel (contient une copie isométrique de tout métrique séparable). J'essaierai de présenter ce qu'on sait sur cet espace et son groupe d'isométries, en détaillant en particulier la réponse à une question posée par Urysohn; si le temps le permet je parlerai également d'analogues de cet espace et de leurs plongements isométriques dans les espaces de Banach
Mercredi 6 février 2008 : Vincent Humilière (Ecole Polytechnique)
Pseudo-représentations hamiltoniennes
On étudie la rigidité du crochet de Poisson de deux fonctions, lorsque l'on effectue des déformations C0 de ces fonctions. Mais nous allons montrer que lorsque les fonctions "cachent" (en un sens que l'on précisera) une structure d'algèbre de Lie, une certaine rigidité apparaît. La démonstration repose sur l'existence de métriques particulières sur le groupe des difféomorphismes hamiltoniens
Mercredi 13 février 2008 : Tien-Cuong Dinh (Institut de Mathematiques de Jussieu )
Problèmes d'équidistribution en dynamique complexe
Nous étudions la distribution des images réciproques de sous-variétés complexes, de codimension p, par la suite d'itérés d'une application holomorphe. Nous montrons dans différentes situations que ces images s'équidistribuent selon un courant invariant canonique. C'est un travail en collaboration avec N. Sibony
Lundi 25 février 2008 : Frederic Mangolte
TBA
Mercredi 27 février 2008 : Nessim Sibony (Université Paris Sud)
Unique ergodicite pour les feuilletages holomorphes de CP2
On se propose de donner les étapes de la démonstration du résultat suivant(en colaboration avec J.E Fornaess). Soit F un feuilletage holomorphe de CP2.On suppose que toutes les singularités de F sont hyperboliques et qu'il n'y a pas de feuille algébrique.Alors il existe un unique courant harmonique de masse 1 dirigé par F.Cela entraine un théorème d'unique ergodicité pour le feuilletage.Si le temps le permet on pourra dire quelques analogies avec la théorie des itérations des endomophismes holomorphes dans CPk
Mercredi 5 mars 2008 : Andrea Venturelli (Université d'Avignon)
Solutions paraboliques globalement minimisantes du Problème Newtonien des N-corps
On etudie le problème Newtonien des N-corps dans l'espace et on
construit des solutions globalement paraboliques par la méthode de
minimisation de l'action. Plus précisement, on montre le resultat
suivante :
soit $x_i$ une configuration quelconque et soit $x_0$ une configuration
centrale minimisante, il existe toujours une solution parabolique qui part
de $x_i$ et qui est asymptotique a $x_0$. Rappellons que une solution est
dite parabolique si les distances mutuelles entre les corps tendent vers
l'infini mais les vitesse tendent vers zero. Pour la démonstration de ce
resultat on utilise le Théorème de Marchal qui assure l'absence de
collisions pour une trajectoire minimisante. C'est un resultat obtenu en
collaboration avec Ezequiel Maderna, de l'Université de Montevideo.
Mercredi 12 mars 2008 : Viviane Baladi (Ecole normale supérieure)
Différentiabilité de la mesure SRB des dynamiques avec points critiques (travail avec D. Smania)
Certains systèmes dynamiques possèdent une mesure invariante naturelle par rapport à la mesure de Lebesgue, appelée mesure de Sinai Ruelle Bowen (SRB). On peut se demander comment cette mesure (vue p ex comme mesure de Radon, ou comme une distribution appropriée) dépend de la dynamique. La continuité a été établie dans de nombreux cas - parfois il s'agit seulement de continuité au sens de Whitney. Depuis quelques années, Ruelle a posé la question de la (Whitney-)différentiabilité de la mesure de SRB. Il a proposé une "formule de la réponse linéaire" qui donnerait cette dérivée en fonction de la perturbation infinitésimale de la dynamique. Nous verrons qu'en présence de points critiques, même dans le cas le plus simple, une hypothèse de tangence à la classe topologique est nécessaire pour réaliser le programme de Ruelle.
Mercredi 19 mars 2008 : Abdellah Sebbar (University of Ottawa)
Dans cet expose, on parlera des liens entre la derivee de Schwarz et les fonctions et formes modulaires, pour aboutir a une nouvelle classe de fonctions qu'on appelle formes equivariantes. Des exemples et des applications seront fournis
Mercredi 26 mars 2008 : Philippe Eyssidieux (Institut Fourier)
Singular Kahler-Einstein metrics
Grâce à des outils de théorie du pluripotentiel, dans un travail en commun avec V. Guedj, A. Zeriahi math.AG/0603431 on généralise le travail de Yau sur les équations de Monge-Ampère au cas des variétés algébriques normales. On utilise cet outil pour définir et construire des métriques de Kähler-Einstein singulières.
Mercredi 2 avril 2008 : Sebastien Baader (ETH Zurich)
Ergodic vector fields and knot invariants
We study the flow lines of ergodic vector fields on compact domains of the 3-space. The non-periodic orbits give rise to a 1-parameter family of knots of increasing complexity. We show that various knot invariants have a well-defined asymptotic behavior on these families, in particular the 4-genus of knots. Thereby we use elementary properties about quasi-morphisms on braid groups and scissor equivalence of rectangles
Mercredi 9 avril 2008 : Alexis Tchoudjem (Université Lyon 1)
Opérateurs différentiels sur certaines variétés projectives
On étudiera en particulier certains opérateurs différentiels algébriques sur la variété des coniques complètes, qui est une compactification de l'espace des coniques non dégénérées.
Mercredi 23 avril 2008 : Chris Wendl (ETH Zurich)
Automatic transversality for holomorphic curves in low dimensions
By a result of Hofer-Lizan-Sikorav, the moduli spaces of compact immersed J-holomorphic curves in a 4-manifold are always smooth if the virtual dimension exceeds a certain threshhold. This was generalized to non-immersed curves (with a stricter threshhold) by Ivashkovich-Shevchishin, and I will explain a new proof of the latter result in a generalized context, applying to punctured curves in symplectic cobordisms. I will then describe some applications to the theory of J-holomorphic foliations: e.g. for reasons that appear somewhat miraculous, curves that have the appropriate local properties for such foliations come in moduli spaces which globally have smooth orbifold structures -- they contain only embedded curves interspersed with a discrete set of "harmless" multiple covers
Mercredi 30 avril 2008 : Juan Morales (UPC, Barcelone)
On the meromorphic non-integrability of some N-body problems (joint work with SergiI SIMON)
We present a proof of the meromorphic non-integrability of the planar N-Body Problem for some special cases. A simpler proof is added to those already existing for the Three-Body Problem with arbitrary masses. The N-Body Problem with equal masses is also proven non-integrable. Furthermore, a new general result on additional integrals is obtained which, applied to these specific cases, proves the non-existence of an additional integral for the general Three-Body Problem, and provides for an upper bound on the amount of additional integrals for the equal-mass Problem for N=4,5,6.
Mercredi 14 mai 2008 : Gulnara Arjantseva (Université de Genève)
Compression des plongements uniformes de groupes dans des espaces de Hilbert ou de Banach
Dans cet exposé, nous nous concentrons sur la compression hilbertienne,
un nouvel invariant R(G) \in [0, 1] associé à un groupe de type fini
G. Il quantifie la façon dont G se laisse plonger uniformément dans un
espace de Hilbert. Un groupe aléatoire de Gromov ne possédant pas de
tel plongement est un exemple de groupe de compression hilbertienne
zéro.
Pour tout R \in [0,1] fixé, en utilisant les familles infinies de
graphes expanseurs, nous construisons (explicitement) un groupe de
dimension asymptotique finie et de compression Hilbertienne R. En
particulier, nous obtenons les premiers exemples de groupes
uniformément plongeables qui ont (comme le groupe de Gromov) la
compression zéro. Nous donnons aussi une version banachique de ces
résultats.
C'est un travail en collaboration avec Cornelia Drutu et Mark Sapir.
Mercredi 21 mai 2008 : Pas de séance, exposés du projet d'ANR KAM faible
Mercredi 28 mai 2008 : Grant Cairns (La Trobe University)
Thrackles et autres problèmes de dessins de graphes
Le théorème classique de Hanani-Tutte affirme qu'un graphe fini est planaire s'il peut être dessiné de telle manière que tout paire d'arêtes non adjacentes se croisent un nombre pair de fois. Dans cette exposé, on rappelle le théorème de Hanani-Tutte et certains problèmes et questions ouverts, et on donne quelques résultats sur les "thrackles "(dessins pour lesquels toute paire d'arêtes se rencontrent précisément une fois) et ses généralisations. Il s'agit d'un travail fait en commun avec Yury Nikolayevsky.
Mercredi 4 juin 2008 : Joerg Waldvogel (Applied Mathematics, ETH Zurich, Suisse)
Quaternions for Regularizing Celestial Mechanics - the Right Way
Quaternions have been found to be the ideal tool for describing the theory of spatial regularization of binary collisions in celestial mechanics. In this talk we present this theory and some of its applications in a concise way. Beginning with a summary of quaternion algebra, we will develop the regularization procedure and discuss some of its consequences. Furthermore, we will consider the regularization of the spatial restricted three-body problem, i.e. the spatial generalization of the Joukowsky-Birkhoff transformation. Finally, the perturbed Kepler motion will be described in terms of regularized variables.
Mercredi 11 juin 2008 : S. G. Dani (Tata Institute of Fundamental Research)
Locally compact groups with ergodic actions by abelian automorphism groups
It has been well-known in response to an old question of Halmos that a locally compact group admitting an ergodic automorphism is compact. On the other hand if the question is weakened to admitting ergodic actions by abelian groups of automorphisms, new possibilities arise. In this talk I will present a characterization of locally compact groups admitting finitely generated abelian groups of automorphisms acting ergodically, and the issues around it.
Mercredi 18 juin 2008 : Seonhee Lim (Cornell University)
Volume entropy of trees and hyperbolic buildings
Volume entropy of a Riemannian manifold is the exponential growth rate of the volumes of balls. Entropy rigidity for rank-1 Riemannian manifolds is known: a theorem of Besson-Courtois-Gallot says that the locally symmetric metrics attain minimal volume entropy among all Riemannian metrics. In this talk, we are interested in entropy rigidity for buildings, especially hyperbolic ones. We will give several characterizations of the volume entropy, analogous to the ones for trees, that will help us to find some lower bound on volume entropy for certain hyperbolic buildings
