Séminaire de probabilités
Année 2009-2010
Jeudi 1er octobre 2009 : Marie Théret
Flux maximal à travers un domaine de R^d en percolation de premier passage
14h00, salle 435
Page web : http://www.dma.ens.fr/~theret/
Nous considérons le modèle de percolation de premier passage sur le graphe renormalisé $\mathbb{Z}^d /n$ : on associe indépendamment à chaque arête $e$ du graphe une variable aléatoire $t(e)$ à valeurs dans $\mathbb{R}^+$. Nous interprétons $e$ comme un tube, et $t(e)$ comme la quantité maximale d'eau qui peut traverser le tube par seconde. Nous considérons donc un modèle de roche poreuse. Il en découle une définition naturelle du flux maximal à travers une partie du graphe, représentant un morceau de roche, entre deux régions disjointes de son bord. Nous étudions le comportement asymptotique de ce flux maximal pour $n$ grand : nous prouvons qu'il satisfait une loi des grands nombres en étudiant ses grandes déviations par au-dessus et par en-dessous.
Jeudi 8 octobre 2009 : Jean-Christophe Mourrat
Vitesse de convergence à l'équilibre de l'environnement vu par la particule.
14h00, salle 435
Page web : http://www.latp.univ-mrs.fr/~mourrat/index.html
Lorsque l'on considère une diffusion en milieu aléatoire, il est naturel d'espérer que, pour de grandes échelles de temps, la diffusion ressemble à celle qui aurait lieu dans un milieu homogène. Le problème de montrer qu'une telle moyennisation a lieu occupe une place importante de l'étude des milieux aléatoires. Cependant, la quasi-totalité des résultats connus sont seulement asymptotiques. Un outil central pour résoudre ce problème est le processus de l'environnement vu par la particule, qui est ergodique. Dans le cas des marches aléatoires en conductances aléatoires, et en supposant que les conductances sont minorées et iid, nous verrons que le processus converge vers l'équilibre avec une vitesse polynomiale. Ce résultat permet par exemple, sous certaines conditions, d'estimer l'écart entre le déplacement quadratique moyen et la variance limite de la marche.
Jeudi 15 octobre 2009 : E. Matzner-Lober
Estimation récursive du biais pour des lisseurs multivariés nonparamétriques.
14h00, Institut Camille Jordan
I will present a general procedure for nonparametric multivariate regression smoothers that outperforms existing procedures such as MARS, additive models, projection pursuit or $L_2$ additive boosting on both real and simulated datasets. In multivariate nonparametric analysis, sparseness of the covariates also called curse of dimensionality, forces one to use large smoothing parameters. This leads to biased smoother. We still propose to use classical nonparametric linear smoother, such as thin plate splines or kernel smoothers, but instead of focusing on optimally selecting the smoothing parameter, we fix it to some reasonably large value to ensure an over-smoothing of the data. The resulting (base) smoother has a small variance but a substantial bias. Afterward, we propose to iteratively correct the biased initial estimator by an estimate of the bias obtained by smoothing the residuals. In univariate settings, we relate our procedure to $L_2$-Boosting. Rules for selecting the optimal number of iterations are also proposed and, based on empirical evidence, we propose one stopping rule. In the regression framework, when the unknown regression function $m$ belongs to the Sobolev space $\mathcal{H}^{(\nu)}$ of order $\nu$, we show that using a thin plate splines base smoother and the proposed stopping rule leads to an estimate $\hat m$ which converge to the unknown function $m$. Moreover, our procedure is adaptive with respect to the unknown order $\nu$ and converge at the minimax rate. We apply our method to both simulated and real data and show that our method compares favourably with existing procedures such as MARS, additive models, $L_2$ boosting or projection pursuit, with improvement on mean squared error up to 30\%. A R package is available.
Jeudi 22 octobre 2009 : Philippe Barbe
Approximation d'integrales sur des ensembles asymptotiques
14h00, Lyon 1
R\'esum\'e: Intuitivement, un ensemble asymptotique est un ensemble loin de l'origine dans un espace euclidien de dimension finie. L'objet de l'expos\'e est de discuter, dans certains cas, l'approximation des probabilit\'es de ces ensembles par une extension de la methode de Laplace. Des applications \`a l'\'etude de certains processus simples, des formes quadratiques de vecteurs al\'eatoires illustreront les principaux r\'esultats.
Jeudi 5 novembre 2009 : Clement Hongler
Densite d'energie dans le modele d'Ising 2D.
14h00, salle 435
On étudie l'invariance conforme du modèle d'Ising bidimensionnel à température critique en utilisant des techniques d'analyse complexe discrète. En particulier, on s'intéressera à la répartition de l'énergie du modèle dans une surface simplement connexe à bord ; on donnera une dérivation rigoureuse de prédictions faites en théorie conforme des champs sur la densité d'énergie. On verra une connexion avec la géométrie hyperbolique. Ce travail est également relié aux questions de convergences d'interfaces vers SLE.
C'est un travail en commun avec Stas Smirnov.
Jeudi 12 novembre 2009 : Alexandre Gaudillère
Grandes cliques et petits nuages
14h00, salle 435
La recherche des plus grandes cliques d'un graphe donn\'e constitue un probl\`eme NP-difficile. Un r\'ecent algorithme a num\'eriquement fait preuve de son efficacit\'e pour traiter ce probl\`eme: l'algorithme de la cavit\'e introduit par Iovanella, Scoppola et Scoppola. Il s'agit d'une version conservative d'un automate cellulaire probabiliste construit sur des m\'ethodes de la m\'ecanique statistique introduites dans l'\'etude des verres de spins. Nous analyserons quantitativement l'efficacit\'e de cet algorithme pour des graphes g\'en\'eralement consid\'er\'es comme faisant partie des plus difficiles \`a traiter lorsqu'il s'agit d'en extraire les grandes cliques: les graphes al\'eatoires d'Erd\"os. Il s'agira alors de comprendre l'\'evolution d'un petit nuage de particules en milieu d\'esordonn\'e.
Jeudi 19 novembre 2009 : Brigitte Chauvin (Univ. Versailles St - Quentin)
Lois limite pour les grandes urnes de Polya
14h00, salle 435
Prenez une urne de P\'olya. Supposez qu'elle est balanc\'ee (c'est-\`a-dire
qu'on ajoute un nombre fixe $S$ de boules \`a chaque \'etape) et qu'elle est
grande (i.e. $m$, la seconde valeur propre de la matrice de remplacement
v\'erifie $S/2 < m < S$). Apr\`es $n$ tirages, le vecteur donnant la
composition de l'urne est asymptotiquement \'egal \`a un premier terme
d\'eterministe d'ordre $n$ plus un second terme al\'eatoire d'ordre $n^{m/S}$.
L'objectif est d'attraper la loi de ce terme al\'eatoire.
La m\'ethode consiste \`a plonger l'urne discr\`ete en temps continu, obtenant
ainsi un processus de branchement multitype. On \'ecrit alors les \'equations
de dislocation pour ce processus, ce qui donne un syst\`eme diff\'erentiel pour
les fonctions caract\'eristiques associ\'ees. On arrive \`a r\'esoudre ce
syst\`eme et \`a exprimer ces fonctions caract\'eristiques \`a l'aide
d'int\'egrales Ab\'eliennes sur une courbe de Fermat.
Les propri\'et\'es de cette nouvelle famille de lois de probabilit\'e sont
encore \`a explorer.
Jeudi 26 novembre 2009 : Julien Berestycki
La généalogie du mouvement Brownien branchant avec absorption. (avec N. Berestycki et J. Schweinsberg)
14h00, Lyon 1
On considère un mouvement Brownien branchant avec drift négatif pour lequel les particules sont tuées lorsqu'elles atteignent 0. On se place dans le régime quasi-critique où la taille de la population totale reste proche de $N.$ Nous montrons que l'échelle de temps caractéristique pour l'évolution de cette population est d'ordre $(\log N)^3$ dans le sens où, lorsque le temps est mesuré dans cette échelle, la taille normalisée de la population converge vers une version du processus de branchement de Neveu. En outre, la généalogie des particules est gouvernée par un processus de coalescence dit de Blthausen-Sznitman. Ceci valide une prédiction non-rigoureuse de Brunet, Derrida, Muller, et Munier pour un modèle proche.
Jeudi 26 novembre 2009 : Hubert Lacoin
Polymères dirigés brownien en milieu aléatoire: l’influence des corrélations spatiale dans l’environnement
15h15, L1 Amphi. Jordan (situé au rez-de-chaussée du bâtiment de mathématiques de l'université).
Le modèle des polymère dirigé en milieu aléatoire peut servir à modéliser de nombreux phénomènes physique, en particulier le comportement d'une chaîne polymère dans un milieu avec des impuretés. Dans cet exposé, nous exposerons les principaux résultats et conjectures pour le modèle discret de polymère dirigé dans N \times Z^d, puis nous présenterons un modèle browniens de polymères (introduit par Rovira et Tindel) pour lequel nous avons étudiés de quelle manière les propriétés universelle du modèle peuvent être modifiée par la présence de corrélation à longue portée dans l'environnement (transition de phase, exposants critiques, exposants de surdiffusivité).
Jeudi 10 décembre 2009 : Adam Timar
Finite clusters in percolation on groups
14h00, salle 435
Consider Bernoulli percolation on a Cayley graph. In a joint work with Steif and Bandyopadhyay, we examine how the size of finite components behave depending on the underlying graph and the percolation parameter. The answer often depends on what one can say about boundaries of lattice animals in Cayley graphs. Of related interest is how isoperimetric properties of the graph are preserved under percolation, and how percolation components can touch each other. We also present some results in this direction.
Jeudi 17 décembre 2009 : Clément Dombry
Shot noises extremaux, queues lourdes et champs aléatoires max-stables.
14h00, L1
les shot noises extremaux apparaissent en théorie des valeurs extremes comme un modèle simple pour les extrèmes spatiaux. Ils trouvent une interprétation par exemple en termes de champ de couverture en télécommunication ou en termes de précipitations aves les processus de tempêtes. Dans cet exposé, nous examinons dans un premier temps les propriétés des shot noises extrémaux (bornitude, régularité, ergodicité ...) Dans un second temps, nous établissons un lien avec les champs max-stable: un théorème limite est obtenu lorsque les poids sont à queues lourdes et l'intensité des points tend vers l'infini. Les propriétés des champ limites max-stables ainsi obtenus sont enfin étudiées.
Jeudi 7 janvier 2010 : Alain PAJOR
La propriété d'isométrie restreinte d'Ensembles de matrices aléatoires
14h00, L1, salle Fokko du Cloux
Jeudi 7 janvier 2010 : Yvik SWAN (Université libre de Bruxelles)
TBA
15h15, L1
Jeudi 14 janvier 2010 : Olivier Guédon
Plongements aléatoires de $\ell_p^n$ dans $\ell_r^N$
14h00, salle 435
Pour tout $0<p<r<2$ et $r \le 1$, il existe des sections aléatoires de $\ell_r^N$ de dimension $n$ arbitrairement proche de $N$ qui sont isomorphes \`a $\ell_p^n$. Je présenterai les idées de la preuve de ce théorème et j'expliquerai comment il se rattache à une étude de mesures de petites boules et à une nouvelle version multi-dimensionnelle d'une inégalité de type Esseen. Travail en commun avec O. Friedland
Jeudi 21 janvier 2010 : Anthony Metcalfe
Universality properties of Gelfand-Tsetlin patterns.
14h00, salle 435
Probability distributions on sets of interlaced particles arise naturally in the study of many systems, most famously when considering the eigenvalues of the minors of the Gaussian Unitary Ensemble (GUE). In this talk we will consider a related system of interlaced particles, namely standard Gelfand-Tsetlin patterns.
A standard Gelfand-Tsetlin pattern of size n is a triangluar array of particles with n particles on the top level, n-1 particles on the first level beneath the top, n-2 on the second etc. These particles interlace in the sense that between any two consecutive particles on a level, there is exactly one particle on the level beneath.
Imposing the uniform measure on the set of all Gelfand-Tsetlin patterns that arise from a fixed top row, we show that the particles in the pattern have a determinantal structure and calculate the correlation kernel. Letting the size of the pattern increase, we show, under some regularity assumptions, that locally the particles on a fixed level in the bulk of the pattern behave asymptotically like a determinantal random point field, with correlation kernel given by the sine kernel. This is achieved using techniques from saddle point analysis.
Jeudi 21 janvier 2010 : Mikael de la Salle
Exposé introductif sur les probabilités libres
15h15, salle 435
Jeudi 28 janvier 2010 : Catherine Matias
Modèles de mélange pour graphes aléatoires
14h00, L1, salle Fokko du Cloux
Jeudi 4 février 2010 : Jean-Marc Azaïs (Université de Toulouse)
Théorème central limite pour les points spéculaire de vagues gaussiennes
14h00, L1
Joint work with José Le\'{o}n
and Mario Wschebor.
Le modèle gaussien stationnaire est un modèle classique pour modéliser
la hauteur des vagues.
Si la surface est éclairée par une source de lumière lointaine, les
points spéculaires sont ceux qui apparaissent en brillant
à un observateur.
Nous donnons l'expression du nombre moyen de points spéculaire et la
comparons à l'approximation de Longuet-Higgings. Nous calculons
également le moment d'ordre deux et donnons un théorème central limite
dans un cadre asymptotique non classique ou la source et l'observateur
s'éloignent à l'infini.
Jeudi 11 février 2010 : Yves Le Jan
Lacets Markoviens, discrets et continus.
14h00, salle 435 ENS
Je présenterai quelques résultats simples sur certaines observables d'un système de lacets markoviens discret avant d'aborder le problème de la renormalisation.
Jeudi 4 mars 2010 : Alexis Devulder
Phénomènes de persistance pour certaines fonctionnelles additives de la marche de Sinai
14h00, L1, salle Fokko du Cloux
On considère une marche aléatoire en milieu aléatoire, unidimensionnelle, et récurrente (marche de Sinai). On détermine asymptotiquement la probabilité "annealed" que la moyenne de ses positions reste positive de l`instant 1 à l`instant N. On utilise pour cela les résultats de Cheliotis sur le nombre de changements de signe des fonds de vallée d`un potentiel Brownien, obtenus suite aux travaux des physiciens Le Doussal, Monthus et Fisher.
Jeudi 11 mars 2010 : Sandrine Péché (Grenoble)
Matrices de covariance empirique non blanches: valeurs propres et vecteurs propres.
14h00, Doua
Jeudi 18 mars 2010 : Béatrice De Tilière
Le modèle d'Ising Z-invariant critique : approche dimérienne
14h00, salle 435
La bijection de Fisher établit une correspondance entre le modèle d'Ising et le modèle de dimères sur un graphe décoré. Dans cet exposé, nous présenterons la résolution du modèle de dimères correspondant au modèle d'Ising dans le cas critique, en démontrant des expressions explicites pour l'énergie libre et pour les statistiques locales. De plus, nous montrerons que ces expressions prennent une forme suprenante : elles ne dépendent que de la géométrie locale du graphe.
Jeudi 25 mars 2010 : Thierry Bodineau
Grandes déviations du courant pour des systèmes avec dissipation
14h00, salle 435
Jeudi 8 avril 2010 : Franck PICARD
Segmentation jointe de Processus Gaussiens multivariés
14h00, L1, salle Fokko du Cloux
Jeudi 29 avril 2010 : François Huveneers
Conductivité thermique de chaînes harmoniques désordonnées.
14h00, salle 435
Conisidérons une chaîne unidimensionnelle de masses inégales, et aléatoires, couplées entre elles par des ressorts harmoniques identiques. L'étude d'une telle chaîne est, à l'origine, motivée par l'obtention d'une dérivation mécanique de la loi de Fourier. On sait en effet qu'une chaîne harmonique ordonnée se comporte comme un super-conducteur parfait, mais il s'avère que la présence d'impuretés peut drastiquement altérer sa conductivité. Après une introduction au sujet, nous verrons comment l'étude du flux d'énergie au travers de la chaîne se ramène à celle de la distribution d'un produit de matrices aléatoires. On énoncera quelques résultats sur ces matrices et on verra comment les appliquer à la détermination de la conductivité thermique de la chaîne. En particulier, on verra pourquoi il est nécessaire d'aller plus loin que les résultats classiques, qui remontent à Furstenberg.
Jeudi 6 mai 2010 : Arnaud Debussche
Equation de Cahn-Hilliard stochastique avec mesures de reflexion et nonlinearites singulieres
14h00, salle 435
Jeudi 3 juin 2010 : Gabor Pete (University of Toronto)
Random walk on percolation clusters, and scale-invariant groups.
14h00, salle 435
Page web : www.math.toronto.edu/~gabor/
There are well-known connections between geometric
properties of Cayley graphs and the behavior of simple random walk on
them. But most tools stop working if we consider random walk inside an
infinite percolation cluster of the graph, even though the same
results should hold.
In the first part of the talk, I give a *simple* proof that the
isoperimetric profile of the infinite cluster basically coincides with
the profile of the lattice Z^d for any percolation density p>p_c(Z^d),
and for p close enough to 1 on Cayley graphs of finitely presented
groups. This implies that the on-diagonal heat kernel decay survives
percolation.
The situation on Z^d is better than in general because of a standard
percolation technique called renormalization. So, in the second part,
I will examine the possibility of renormalization on other Cayley
graphs. A group G is called scale-invariant if it has a nested chain
of finite index subgroups, all isomorphic to G, whose intersection is
trivial. Itai Benjamini conjectured that scale-invariant groups must
have polynomial volume growth. In joint work with V. Nekrashevych, I
have given several counterexamples, including the lamplighter group
Z_2 \wr Z.
I will give a lot of open questions.
Jeudi 10 juin 2010 : Hugo Duminil
"Marches auto-évitantes sur le réseau hexagonal"
14h00, salle 435
