Séminaire de probabilités
Année 2010-2011
Jeudi 7 octobre 2010 : Ismael Bailleul
Temps de vie des diffusions relativistes
14h00, salle 435
Page web : http://www.statslab.cam.ac.uk/~ismael/
Les diffusions relativistes sont des modeles de mouvement aleatoires dans
l'espace temps d'un objet ayant une vitesse inferieure a celle de la
lumiere. Ces processus aleatoires sont a la geometrie lorentzienne ce que
le mouvement brownien est a la geometrie riemannienne. En raison de leur
caractere intrinseque, il est raisonnable de penser qu'une partie (ou tout
?) de la geometrie de l'espace/temps ambien peut se retrouver a travers le
comportement probabiliste de ces processus. Dans le cadre riemannien, cette
vue probabiliste sur la geometrie est bien illustree par les formules de
Weyl-Pleyel pour le noyau de la chaleur, ou informations geometriques
locales et gloables apparaissent.
On exposera dans ce seminaire un aspet de cette correspondence
geometrie/probabilite. Il est bien etabli, depuis les resultats de Penrose
et Hawking, que l'apparition de singularites dans la theorie de la
gravitation d'Einstein est inevitable sous certaines conditions naturelles.
Bien qu'aucun consensus definitif n'ai ete adopte quant a la definition
d'une singularite, il est communement admis que l'existence de geodesiques
incompletes est un signe de comportement singulier pour un espace/temps. Y
a-t-il a lien entre incompletude geometrique est incompletude probabiliste
? C'est a clarifier cette question que sera consacre cet expose.
Jeudi 4 novembre 2010 : Régine Marchand
14h00, Lyon I
Jeudi 18 novembre 2010 : Pierre Petit (Orsay)
Sur la théorie de Cramér et sa généralisation aux champs asymptotiquement découplés
14h00, salle 435
Le contenu de l'exposé s'inscrit dans une suite de travaux sur la théorie fondamentale des grandes déviations. Cramér (1938) a montré que les moyennes empiriques d’une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi vérifient un principe de grandes déviations (PGD). Et Chernoff (1952) a identifié l'entropie du PGD et l'opposée de la fonction convexe-conjuguée de la pression (s=-p*). Donsker et Varadhan (1966) ont proposé un cadre généralisant l’obtention du PGD, d’où découle l’égalité s=-p*. Leur formalisme a été approfondi dans les ouvrages classiques d’Azencott (1980), de Acosta (1985), Deuschel et Stroock (1989) et Dembo et Zeitouni (1993). Reprenant les idées de Bahadur et Zabell (1979), nous donnerons un cadre plus optimal pour l’égalité s=-p*. Ce travail permet de mieux comprendre les outils pertinents pour la théorie de Cramér (sous-additivité, convexité, convexe-tension). Au passage, nous donnons une nouvelle preuve, plus simple, du résultat originel de Cramér sur la droite réelle. D'autre part, nous étendons la théorie de Cramér aux champs asymptotiquement découplés introduits par Pfister (2002) : nous relaxons donc l'hypothèse d'indépendance, tout en conservant une forme de sous-additivité. Le cadre finalement obtenu contient les théories de Cramér et de Sanov pour des variables indépendantes, ainsi que les principes de grandes déviations pour les chaînes de Markov (Donsker et Varadhan) et les mesures de Gibbs (Comets, Orey, Pelikan, Föllmer, Ort et Olla).
Jeudi 18 novembre 2010 : Milton Jara (Impa)
Occupation time of mean zero exclusion processes
15h00, salle 435
We prove that scaling limits various additive functionals of a 1-d mean zero exclusion process can be expressed in terms of scaling limits of the density of particles. In particular, we prove that the occupation time of the origin converges to a fractional Brownian motion of Hurst index 3/4.
Jeudi 2 décembre 2010 : Jean Mairesse
Autour de l'ergodicité des automates cellulaires probabilistes
14h00, la Doua, salle Fokko du Cloux
Un automate cellulaire probabiliste (ACP) peut être vu comme l'analogue synchrone et temps discret d'un système de particules en interaction de portée finie. On présentera deux résultats portant sur l'ergodicité des ACP. Le premier, de nature plus informatique, est l'indécidabilité de l'ergodicité. Le second est l'existence d'ACP avec une unique mesure invariante mais non-ergodique (phénomène de périodicité).
Jeudi 16 décembre 2010 : Mauro Mariani (Marseille III)
Macroscopic fluctuation theory for aerogels dynamics
14h00, salle 435
Macroscopic fluctuation theory provides a main tool to study non-equilibrium Statistical Mechanics. In this talk, a class of models is introduced, for which it can be proved that the quasi-potential of the current fluctuations is non-analytical.
Jeudi 6 janvier 2011 : Elie Aïdekon (Eurandom)
Convergence en loi du minimum d'une marche branchante
14h00, salle 435
Page web : https://venus.tue.nl/ep-cgi/ep_detail.opl?taal=US&fac_id=92&rn=20091250
On considere une marche branchante sur les reels. Le processus commence avec une particule situee en 0. A chaque generation, les particules du processus meurent et donnent naissance a des enfants repartis de facon iid autour de la position du père. Pour une large classe de marches branchantes, nous montrons une convergence en loi pour la position de la particule minimale de ce processus.
Jeudi 13 janvier 2011 : Jiri Cerny (ETH Zurich)
Phase transition for the complement of random walk trajectory on random regular graphs
14h00, la Doua, salle Fokko du Cloux
We consider a simple random walk on the random regular graph. We show that the complement of the trajectory of the walk stopped after a time proportional to the size of the graph exhibits a phase transition similar to Bernoulli percolation.
Mercredi 19 janvier 2011 : Benjamin Schlein (Cambridge)
14h00, salle 435
Jeudi 20 janvier 2011 : Christian P. Robert (Paris Dauphine)
Rao-Blackwellisation and parallelisation of Metropolis-Hastings algorithms
14h00, la Doua, salle Fokko du Cloux
(Joint works with R. Douc, P. Jacob and M. Smith). Casella and Robert (1996) presented a general Rao-Blackwellisation principle for accept-reject and Metropolis-Hastings schemes that leads to significant decreases in the variance of the resulting estimators, but at a high cost in computing and storage. Adopting a completely different perspective, we introduce instead a universal scheme that guarantees variance reductions in all Metropolis-Hastings based estimators while keeping the computing cost under control. We establish a central limit theorems for the improved estimators and illustrate their performances on toy examples and on a probit model estimation. In a second part, we consider the implications of the fact that parallel raw-power can be exploited by a generic Metropolis-Hastings algorithm if the proposed values are independent. In particular, we present improvements to the independent Metropolis-Hastings algorithm that significantly decrease the variance of any estimator derived from the MCMC output, for a null computing cost since those improvements are based on a fixed number of target density evaluations. Furthermore, the techniques developed in this paper do not jeopardize the Markovian convergence properties of the algorithm, since they are based on the Rao-Blackwell principles of Gelfand and Smith (1990), already exploited in Casella and Robert (1996), Atchade and Perron (2005) and Douc and Robert (2010). We illustrate those improvement both on a toy normal example and on a classical probit regression model but insist on the fact that they are universally applicable.
Jeudi 27 janvier 2011 : Jean-Christophe Mourrat (EPF Lausanne)
Homogénéisation et marches aléatoires
14h00, salle 435
À un opérateur différentiel sous forme divergence sur Z^d, on peut associer une marche aléatoire. On suppose que les coefficients de l'opérateur forment un champ de variables aléatoires indépendantes et de même loi. On sait qu'alors, s'il est regardé d'assez loin, l'opérateur ressemble à un opérateur différentiel à coefficients constants. Du côté probabiliste, la marche aléatoire (en milieu aléatoire) satisfait un principe d'invariance. Un problème important est de calculer numériquement les coefficients de l'opérateur limite. Nous verrons dans un premier temps comment un peu d'analyse spectrale permet de relier ce problème à des questions probabilistes naturelles de vitesse de convergence à l'équilibre de chaînes de Markov. Nous étudierons ensuite de nouvelles méthodes de calcul numérique de ces coefficients (travail en collaboration avec A. Gloria).
Jeudi 3 février 2011 : Gabriel Faraud
Marche aléatoires en milieu aléatoire: le cas des arbres
14h00, salle 435
Le modèle de marches aléatoires en milieu aléatoire étudié par Sinaï et Solomon a fait l'objet de beaucoup d'intérêt ces 20 dernières années, et est actuellement relativement bien maîtrisé . En parallèle à ces résultats, de nombreuses extensions de ce modèle ont été introduites et étudiées, et certaines d'entre elles restent recèlent encore de nombreuses questions sans réponse. Nous nous intéresserons plus particulièrement au cas des arbres. En effet, outre qu'il présente un intérêt théorique en lui même, comme intermédiaire entre la dimension 1 et les modèles multi-dimensionnels, son étude est facilité par les liens étroits qu'il présente avec des modèles de marches branchantes. Nous tenterons d'expliciter ces liens, avant de donner un panorama de l'état des connaissances sur ce domaine.
Jeudi 10 février 2011 : Vlada Limic
14h00, la Doua, salle Fokko du Cloux
Jeudi 17 février 2011 : Augusto Teixeira (ENS Ulm)
Fragmentation of a discrete torus by random walk
14h00, salle 435
In this talk we will consider a random walk on a discrete torus (Z/NZ)^d for d > 2. We will focus on the geometric properties of the set of sites not visited by the random walk, the so-called vacant set. More precisely, we will be interested in the time scales up to which we should run the walk, in order to fragment the vacant set into small components only, in the spirit of percolation on finite graphs. In this talk we will present recent results providing the right scale in which this fragmentation occurs. Emphasis will be given to the main ingredient of the proofs, namely the model of random interlacements introduced in 2007 by A.S. Sznitman.
Jeudi 24 février 2011 : Guillaume Aubrun (Lyon I)
États quantiques aléatoires
14h00, la Doua, salle Fokko du Cloux
On considère le problème suivant : que peut-on dire d'un état aléatoire
d'un système quantique à deux parties (Alice+Bob) obtenu à partir d'un
état pur sur un système à trois parties (Alice+Bob+Environnement) ? En
particulier, cet état est-il séparable (=simulable par la mécanique
classique) ? Est-il distillable (=utilisable par les algorithmes
quantiques connus) ?
La réponse dépend de la dimension de l'envionnement et fait apparaître des
transitions de phase. On introduira notamment un nouveau modèle de
matrices aléatoires (obtenu en tranposant bloc par bloc des matrices de
Wishart) pour lequel on montrera que la loi des valeurs propres converge
vers une densité semi-circulaire non centrée.
Jeudi 17 mars 2011 : Quentin Berger (dpt de physique de l'ENS Lyon)
Modèle d'accrochage de polymère en environnement très corrélé
14h00, salle 435
Les modèles de polymères en milieu aléatoire servent à modéliser de
nombreux phénomènes physiques, et en particulier le comportement d'une
chaîne polymère dans un milieu avec des impuretés. On considèrera ici un polymère dirigé en dimension d+1, qui interagit avec un défaut unidimensionnel, l'interaction étant aléatoire dans le sens où les couplages sont des variables aléatoires.
On observe une transition dite « d'accrochage » entre la phase localisée à basse température (le polymère est accroché à la ligne de défaut) et la phase délocalisée à haute température. On exposera ici les principaux résultats sur ce modèle, en soulignant notamment l'influence du désordre sur les propriétés critiques de la transition de phase. On s'intéressera plus particulièrement à un modèle où
l'interaction avec la ligne de défauts présente de fortes corrélations
spatiales.
Jeudi 24 mars 2011 : Romain Abraham (Orléans)
Élagage d'arbres de Galton-Watson et processus à valeur arbres
14h00, la Doua, salle Fokko du Cloux
Jeudi 31 mars 2011 : Xavier Bressaud (Toulouse)
14h00, la Doua, salle Fokko du Cloux
Jeudi 7 avril 2011 : Nathanaël Berestycki (Cambridge)
Temps de mélange pour les k-cycles et chaînes de coalescence fragmentation
14h00, salle 435
Page web : http://www.statslab.cam.ac.uk/~beresty/
Soit S_n le groupe des permutations d'ordre n. On considère une marche
aléatoire sur S_n dont le pas de distribution est uniforme sur une
classe de conjugaison donnée, telle que les transpositions, ou plus
généralement
les k-cycles. Nous montrons que le temps de mélange pour cette marche aléatoire
est égal à (1/k) n log n. Ce résultat établit une conjecture classique
et généralise
le célèbre résultat de Diaconis et Shahshahani concernant le cas des
transpositions. Les techniques
de preuve son purement probabilistes et font appel à certaines chaînes
de coalescence et fragmentation ainsi que certains arguments de couplage.
En particulier elles n'utilisent aucun argument provenant de la
représentation de S_n.
(Travail en collaboration avec Oded Schramm et Ofer Zeitouni).
Jeudi 14 avril 2011 : Kilian Raschel (Bielefeld)
14h00, salle 435
Il s'agit de compter le nombre de chemins du plan obtenus en se déplaçant selon un ensemble fixé de pas et qui, tout en restant dans un quart de plan, arrivent après un nombre donné d'étapes en un certain point. Dans cet exposé nous expliquerons comment expliciter la série génératrice comptant ces nombres de trajectoires, en montrant qu'elle vérifie un certain problème frontière. Nous nous intéresserons ensuite à une classification de ces problèmes de comptage, via la nature (algébrique, (non) holonome) de la série génératrice.
Jeudi 21 avril 2011 : Viet Chi Tran (Lille)
Un modèle de population avec compétition logistique et dont la dynamique dépend du passé
14h00, la Doua, salle Fokko du Cloux
Jeudi 12 mai 2011 : Florent Benaych-Georges
Pont Brownien et vecteurs propres de matrices de Wigner
14h00, salle 435
Jeudi 19 mai 2011 : Thierry de la Rue (Rouen)
14h00, La Doua, salle Fokko du Cloux
Jeudi 9 juin 2011 : Mark Holmes (Auckland)
14h00, la Doua, salle Fokko du Cloux
Jeudi 16 juin 2011 : Raphaël Rossignol (Orsay)
14h00, la Doua, salle Fokko du Cloux
On considère un réseau électrique aléatoire elliptique, c'est-à-dire un graphe (infini) dont les arêtes sont munies de résistances aléatoires indépendantes uniformément bornées loin de zéro et de l'infini. Sous certaines conditions liées à la géométrie du graphe, on étudiera la stabilité de la résistance effective point à point quand les résistances aléatoires sont bruitées.
