Considérons une structure géométrique g (par exemple une structure symplectique, ou une structure complexe, ou encore le couple formé d'une structure complexe et d'une forme de contact holomorphe). On cherche à comprendre le groupe de symétries de cette structure, noté Isom(g), à la fois d'un point de vue algébrique, géométrique et dynamique :
quelle est la structure du groupe Isom(g) ? Est-il simple ? Peut-on en comprendre sa cohomologie ? Décrire ses sous-groupes ? Construire des quasi-morphismes ? etc.
Quels groupes se plongent dans Isom(g) ? Quelle est leur dynamique ?
Voici un exemple. Soit G un réseau de SL(n,R), n > 2. Est-il possible de plonger G dans le groupe des homéomorphismes préservant l'aire d'une surface fermée ? On sait depuis peu que la réponse est négative dans le cas particulier où G = SL(n,Z) et si l'on s'intéresse aux difféomorphismes plutôt qu'aux homéomorphismes. Ce résultat est dû à Polterovich d'une part et à Franks et Handel d'autre part. Les techniques employées sont étonnament différentes : homologie de Floer pour le premier ; dynamique topologique, théorie de Nielsen-Thurston et théorie ergodique pour le second. Une de nos ambitions est d'étendre ce résultat pour des réseaux quelconques et des actions par homéomorphismes.