Dynamique topologique sur les surfaces

À Rennes, les 13-14-15 mars 2008, nous écouterons 3 mini-cours de François BÉGUIN, Patrice LE CALVEZ et Frédéric LE ROUX. Ci-dessous, un programme prévisionnel. Quelques scéances d'échauffements seront organisées le mercredi 12 après-midi et jeudi 13 en fin de matinée.

Lieu et programme

Les exposés préparatoire auront lieu dans la salle de travail de la bibliothèque de l'IRMAR au 8ième étage du bâtiment 22-23 (entrée de la bib au 7ième étage). Les exposés du jeudi après-midi auront lieu dans la salle 14 du bâtiment 32. Les exposés du vendredi et du samedi auront lieu dans la salle 004-006 de l'IRMAR, bâtiment 22-23. Le campus est accessible depuis la station de métro République (à deux stations de la gare) en prenant le bus No 16 direction Beaulieu-Atalante et en descendant à Beaulieu/Restaurant Universitaire. Voir plans du campus.

Mercredi 12	14h00-15h00	préliminaire 1
	15h30-16h30	préliminaire 2
	17h00-18h00	préliminaire 3
Jeudi 13	11h00-12h00	préliminaire 4
		repas
	14h00-15h30	François 1
	16h00-17h30	Patrice 1
Vendredi 14	9h00-10h30	Frédéric 1
	11h00-12h30	François 2
		repas
	14h30-16h00	Patrice 2
	16h30-18h00	Frédéric 2
Samedi 15	8h30-10h00	François 3
	10h30-12h00	Patrice 3
		repas
	14h00-15h30	Frédéric 3

Repas

Des buffets sont prévus les jeudi et vendredi midi à la cafétéria des étudiants, au rez-de-chaussée du bâtiment 27, puis un repas chaud le samedi midi au restaurant Le Tournebride, en face de l'entrée principale de l'Université. Enfin, le dinner de la rencontre aura lieu le vendredi soir à 20h00 en ville.

Préliminaires

1. Topologie des surfaces. Liste des surfaces compactes, revêtement universel, relèvements des courbes et des homéomorphismes, homologie et cohomologie.
2. Dynamique des Anosov linéaires du tore. Orbites périodiques, orbites denses.
3. Champs de vecteurs sur la sphère. Ensemble omega et alpha-limite. Poincaré-Bendixson. Cas du tore.
4. Dynamique locale au voisinage d'un point fixe. Définition de l'indice et exemples.

Dynamique au voisinage des points fixes (Fred)

1. Exemples et modèles de dynamiques locales.

- Définition de l'indice d'un point fixe isolé, modèles pour chaque indice.
- Problématique : est-ce qu'un homéo local d'indice donné ressemble au modèle ?
- Exemples d'homéos locaux qui ne ressemblent pas beaucoup au modèle.
- Enoncé de résultats ``positifs" (i.e. du type ``tout homéo local ressemble au modèle correspondant") : absence de récurrence, théorème de Poincaré-Birkhoff local, existence de pétales. (ces énoncés seront repris et démontrés dans le troisième cours).

2. Ensemble de rotation local, et feuilletage transverse à une isotopie.

- Définition de l'ensemble de rotation local au voisinage d'un point fixe.
- Théorème de Brouwer feuilleté équivariant dans l'anneau.
- Relations entre indice d'une isotopie, indice de son temps 1, et indice d'un feuilletage transverse.
- Dynamique des germes de feuilletages.

3. Applications de l'ensemble de rotation local, et des feuilletage transverses.

- Preuve du théorème de Poincaré-Birkhoff local.
- Preuve de l'existence de pétales.
- Eventuellement : critère d'éclatabilité d'un point fixe.

Théorie de Nielsen-Thurston (François)

1. Le tore T².

- Classification des homéos sur le tore à isotopie près (tout homéo est isotope soit à un périodique, soit à un twist linéaire, soit à un Anosov linéaire).
- Les Anosov linéaires du tore ont une dynamique riche.
- Tout homéo isotope à un Anosov linéaire lui est semi-conjugué.

2. Les surfaces de genre g>=2.

- Définition des pseudo-Anosov (aussi bien en termes de mesures transverses dilatées que de différentielles quadratiques).
- Exemples de construction de pseudo-Anosov.
- Énoncé du théorème de classification.
- Énoncé et esquisse de preuve du théorème de Handel (si f isotope à une pseudo-Anosov f₀, alors f à une dynamique au moins aussi riche que f₀).

3. Un exemple d'application.

Tout difféo du tore d'ensemble de rotation d'intérieur non-vide a une entropie topologique strictement positive.

Théorème de Brouwer feuilleté et applications (Patrice)

1. Vecteurs de rotation.

- Définitions : d'abord pour un flot, puis pour une isotopie (issue de l'identité) dans le cas compact. Définition possible dans le cas non-compact.
- Exemples : ensemble de rotation d'un homéo de T², nombre d'enlacement d'une orbite périodique et d'un point fixe sur une surface, défintion de l'action en termes de vecteur de rotation.
- Théorème de Fried (pour les flots).

2. Le théorème de Brouwer feuilleté équivariant.

- Notion d'isotopie maximale sur une surface.
- Énoncé du Théorème de Brouwer feuilleté équivariant.
- Notion d'isotopie maximale et de feuilletage dynamiquement transverse.

3. Première application (cas du tore T²).

- Théorème de Franks : réalisation des points de l'intérieur du convexe de rotation (et de certains points du bord).

4. Deuxième application (difféos ayant au moins trois points fixes).

- Existence d'une infinité de points périodiques dès qu'il y a 3 points fixes.
- Propriétés en termes de points fixes et périodiques des difféomorphismes avec distorsion (Franks-Handel).

5. Troisième application (difféos hamiltoniens des surfaces de genre g>=2).

- Existence de deux points d'action différentes (si possible).
- Existence d'une infinité d'orbites périodiques.
- Propriétés en termes de points fixes et périodiques des difféos avec distorsion.