Soutenance de thèse Thomas BUC--D'ALCHE

Le jury est composé de:

• Guillaume Chapuy, Université Paris Cité (Rapporteur)
• Benoît Collins, Kyoto University (Rapporteur)
• Nalini Anantharaman, Université de Strasbourg (Examinatrice)
• Jérémie Bouttier, Sorbonne Université (Examinateur)
• Guillaume Dubach, Ecole Polytechnique (Examinateur)
• Elba Garcia-Failde, Sorbonne Université (Examinatrice)
• Alice Guionnet,  ENS de Lyon (Co-directrice de thèse)
• Grégory Miermont, ENS de Lyon (Co-directeur de thèse)

Résumé de la thèse:

Cette thèse traite de plusieurs problèmes reliés aux matrices aléatoires et à l’énumération de cartes.
Informellement, les cartes sont des graphes dessinés sur des surfaces. Les travaux des physiciens Brézin,
Itzkson, Parisi, et Zuber ont permis de comprendre que le problème de l’énumération des cartes est
relié à la distribution des valeurs propres de matrices aléatoires Hermitiennes Gaussiennes. Ce lien,
beaucoup étudié depuis, s’est révélé fructueux dans les deux directions: une bonne compréhension de la
combinatoire des cartes permet de décrire le spectre de matrices aléatoires, et des méthodes analytiques
applicables aux intégrales de matrices permettent d’approcher des problèmes combinatoires a priori
difficiles. Cette thèse propose une description de modèles de matrices aléatoires unitaires
en terme d’une famille de cartes, les cartes de type unitaire. Ces cartes constituent une généralisation
d’une famille d’objets combinatoires liés aux probabilités libres, les nombres de Hurwitz monotones.
D’autre part, la distribution de valeurs propres de matrices Hermitiennes unitairement invariantes
est un cas particulier d’une famille de mesures appelée β-ensemble. On propose une
méthode directe de calcul des moments du β-ensemble en terme de cartes. Cette approche propose un
point de vue nouveau sur les moments du β-ensemble, différent de celui considéré par LaCroix, dans le
cadre la b-conjecture de Goulden et Jackson en combinatoire algébrique.
Des relations clés pour étudier les liens entre cartes et matrices aléatoires sont les équations de
Dyson-Schwinger. En théorie des matrices aléatoires, ces équations apparaissent comme conséquence
de l’invariance par translation de la mesure de référence considérée. Au dela, ces équations apparaissent
sous d’autres formes dans de nombreux domaines: en particulier, il s’agit des équations de Tutte en
combinatoire des cartes. Elles peuvent être vues comme un cas particulier de la récurrence topologique
de Eynard et Orantin. Ecrites pour le β-modèle et dans la limite de grande dimension, les équations de
Dyson-Schwinger peuvent être interprétées comme définissant une courbe hyperelliptique, la courbe
spectrale. De nombreuses observables de matrices aléatoires correspondent à des objets géométriques
définis en terme de la courbe spectrale. Il est alors possible de réinterpréter des identités probabilistes
de matrices aléatoires d’un point de vue géométrique. Enfin, plutôt que le spectre, on peut étudier les vecteur propres de matrices aléatoires. Dans ce cadre,
on discute du problème de localisation des vecteurs propres d’une matrice d’adjacence d’un graphe
aléatoire. Cette question est liée notamment au problème de la localisation d’Anderson, un problème
encore partiellement ouvert en physique mathématique. On étudie le problème de
localisation pour le modèle Generalized Random Graph, qui généralise le modèle d’Erdős-Rényi.